Apie tą strypelį…

Lapkričio 10, Ketvirtadienis

Atsiprašau, kitiems tai nebus įdomu, net negaliu nurimti – mano studentai turi išmokti spręsti tokį paprastą uždavinį! Po vakarykščio bandymo su gyvais žmonėmis privalau parodyti, kad sprendimas gali būti paprastas ir aiškus.
*
Strypas perpjautas dviejose atsitiktinai pasirinktose vietose. Kokia tikimybė (įvykio T), kad iš gautų strypelių galima sudaryti trikampį?

*
Tarkime, kad strypo ilgis yra A, o po supjaustymo gautų dalių ilgiai yra x, y ir z.
Akivaizdu, kad turi būti teisinga lygybė x+y+z=A. Tai plokštumos lygtis! Vadinasi, visų galimų rezultatų aibė gali būti parodyta trikampiu pirmame oktante.

trik

Trikampį iš strypelių galėsime sudaryti, jei bus teisingos nelygybės: x<y+z, y<x+z, z<x+y. Ką duoda plokštumos lygtis kartu su, pavyzdžiui, paskutiniąja nelygybe? Užrašykite sistemą ir gausite: z=A-(x+y), z<A-z, z<A/2.
Analogiškai gausime x<A/2, y<A/2. Šios trys nelygybės apibrėžia užbrūkšniuotą aibę. Tos aibės (trikampio) plotas yra ketvirtis didžiuojo trikampio ploto. Atsakymas: P(T) = 1/4.
*
Išvada: neskubėkite patikėti, kad jus moko nesuprantamų dalykų!

P.S. 1) Paveikslėlį paėmiau iš savo „Niekam tikusios matematikos mokymosi knygos“, jis šiek tiek neatitinka teksto. 2) Įrodyme palieku klaidelę! Raskite ją.

patiko(0)



RSS

Atsakymai (9)

Burgis, Lapkričio 10 11:38  #

Įvertinkite mano švietėjiškas pastangas…

patiko(0)



Palaidas, Lapkričio 11 12:44  #

Panašu, kad tikimybė tokia, bet užbrūkšniuotas trikampis ne ten įbrėztas. Jo viršūnės turėtų remtis į ašis ties A/2.

patiko(0)



ST, Lapkričio 11 12:52  #

„Prisikabinčiau“ nebent prie teiginio „Šios trys nelygybės apibrėžia užbrūkšniuotą aibę“.
Tos nelygybės (x<A/2, y<A/2, z0, y>0, z>0) apibrėžia kubą. O ta užtušuota sritis yra kubo ir plokštumos (x+y+z=A) sankirta.

patiko(0)



ST, Lapkričio 11 12:54  #

Iš komentaro dingo dvi nelygybės z>0 ir z<A/2.

patiko(0)



ST, Lapkričio 11 12:57  #

Tiksliau, dingo x>0 ir z<A/2 :)

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 11 20:32  #

Ne, kol kas jūsų nurodyti dalykai nėra esminiai… Nebūtina rašyti to, kas savaime aišku, pavyzdžiui, x>0.

patiko(0)



nuoba, Lapkričio 11 20:59  #

Gal ne ten užbrėžta A/2 taškai. Geriau tiktų ant vektorių a,b,c (t.y x,y,z)?

patiko(0)



Pranas, Lapkričio 14 22:33  #

Keista. Man atrodo, kad idėja gera, o ir rezultatas korektiškas-elegantiškas. Liksiu nustebęs, jei čia trūksta kažko svarbaus.

patiko(0)



Vainius, Lapkričio 14 23:44  #

Neparodyta, kad kiekvieno taško trikampyje tikimybės tankis vienodas?

patiko(0)



XHTML

Leistinos XHTML žymos:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>