Bandau prisiminti mokyklinę matematiką…

Vasario 21, Ketvirtadienis

Šiandien pavadavau mokytoją trečiokų klasėje. Moksleiviai parodė uždavinį, kurį mokytojas pateikė iš ir mano turimos tarybinių laikų knygos – stojimo į įvairius TSRS universitetus uždavinių rinkinio. Uždavinys stojusiems į MFTI (Maskvos fizikos-technikos institutą) – į „kietą“ aukštąją mokyklą:
cos(3x) – cos(2x) = sin(3x).
Iškart supratau, kad sugaišiu daug laiko, kol surasiu sprendimą, todėl atidėjau tą darbą po pamokos.
Pritaikęs iš formuliaro paimtas trigubo argumento formules (iškart tokia mintis – norėčiau rasti sprendimą be tų formulių!), uždavinį gerokai supaprastinau (taip manau…), radau vieną sprendinių aibę:
4*(cos(x))^3 – 3*cos(x) – (cos(x) – sin(x))(cos(x) + sin(x)) = 3*sin(x) – 4*(sin(x))^3;
4*(cos(x))^3 + sin(x))^3) – (cos(x) – sin(x))(cos(x) + sin(x)) = 3*(cos(x) + sin(x));
Prastiname iš daugiklio (cos(x) + sin(x)), jis duoda vieną sprendinių aibę.
Gauname lygtį:
sin(x) – 4*sin(x)*cos(x) – cos(x) = -1.
***
Jūs matote sprendinių aibę? O aš nemačiau… Bet man šovė į galvą „geniali“ mintis – tegu sprendžia „ekselis“! Vos pasirinkau sin(x) reikšmių dešimtuką ir pamačiau rezultatą, beveik pradėjau juoktis! Taigi sin(x) = 0 tinka! Pažiūrėjau į pradinę lygtį – taigi 2*pi*n sprendinių aibė kaip ant delno!
Reikia man grįžti į mokyklą pasimokyti…
Beje, o kaip spręsti tą lygtį, kurią „ekselis“ išsprendė? Apskritai, „mikli“ ir kiti – pamokykite mane, pamokykite!

patiko(1)



RSS

Atsakymai (10)

Burgis, Vasario 21 16:41  #

Įverčiams…

patiko(0)



Gimnazistė, Vasario 21 18:12  #

Klausiate apie lygties sin(x) – 4*sin(x)*cos(x) – cos(x) = -1 sprendimą? Tvarijonas mus jau to mokė :)

Pasižymime:
sin(x) – cos(x) = t

Keliame kvadratu ir gauname:
1 – sin(2x) = t^2
sin(2x) = 1 – t^2

Pradinę lygtį truputį pertvarkome:
sin(x) – cos(x) – 2sin(2x) = -1

Pakeičiame į keitinį t:
t – 2(1 – t^2) = -1
ir gauname kvadratinę lygtį.

P.S. Nesu tikra, kad neklystu, bet vieną gautą sprendinį patikrinau – tiko.

patiko(0)



Burgis, Vasario 21 19:24  #

Ačiū, Gimnaziste, tikrai puikus sprendimas!

patiko(0)



Paulius, Vasario 21 21:21  #

Nelabai gražu, bet, ko gero, galima ir tokią sistemą susidaryt:

sin(x) – 4*sin(x)*cos(x) – cos(x) = -1
sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1.

Jei iš pirmosios lygties išsireiškiame sin(x) ir įstatome į antrąją, trupučiuką pertvarkius gauname:

cos(x)*(cos(x)-1)*(8cos(x)^2+12cos(x)-3)=0

patiko(0)



Burgis, Vasario 22 08:37  #

Paulius parodė gerą kelią, bet aš „neatsikabinu“ nuo minties, kad lygčiai sin(x) – 4*sin(x)*cos(x) – cos(x) = -1 tinka sin(x)=0. Vadinasi, tą lygtį galima išskaidyti į daugiklius, iš kurių vienas ir yra sin(x) arba į tą sprendinių aibę „pataikantis“ daugiklis. Tikrai, žiūrėkite, „klasikinis“ žingsnis – ir tai gauname!
2sin(x/2)cos(x/2) – 4*2sin(x/2)cos(x/2)*cos(x) – (cos(x/2))^2 + (sin(x/2))^2 = – (cos(x/2))^2 – (sin(x/2))^2.
Suprastiname ir iškeliame sin(x/2) …
Ieškokite dar geresnių kelių!

patiko(0)



Statybininkas, Vasario 22 13:48  #

Žmonės sako laiptai eina…. Ar laiptai eina iš apačios į viršų, ar iš viršaus į apačią? Ir ar iš vis laiptai gali eiti…?

patiko(0)



Paulius, Vasario 23 22:46  #

Kaip gražiai išsprendėt:) Pagavau Jūsų mintį !

sin(x) – cos(x) = -1 + 4*sin(x)*cos(x)

*jei pakeltume abi puses kvadratu (nesu tikras ar tai geras ėjimas), atskliaudę gautume:

1 – sin(2x) = 1 + 4(sin(2x))^2 – 4sin(2x)

Suprastinę ir sukėlę į vieną pusę:

sin(2x)*(4sin(2x) – 3) = 0

patiko(0)



gsm, Vasario 24 19:00  #

Galbūt univeras, sistemų analizė ir daugmaž reguliarūs santykiai su matematikos daktar[ėm/a]is papūdė pilkąsias ląsteles, bet nesuprantu – kodėl tokio pobūdžio lygtis mokyklose nemokomi spręsti funkcijų optimizavimo metodais.

Pamatęs užduotį, pirmiausia pagalvojau:
– kaip ją išspręstų Pitagoras;
– kaip ją išspręstų ekselis.

Ir, nors mano kuprinėje gerokai daugiau skaitytinų knygų nei Pitagoro laikais apskritai buvo parašyta,

– pirmiausia prisiminkime, kad sin ir cos yra vienos padermės žvėrys, išvedami vienas iš kito kaip stačiojo trikampio stačiosios kraštinės, per įžambinę ir smailųjį kampą. Pagal įsigalėjusią notaciją, sin(x)=cos(x-pi/2). Taip normalizuojame dėmenis, suvesdami funkcijas ir jų argumentus „vienon skalėn“.

– antra, sukelkime visus nenulinius lygties dėmenis į vieną pusę. Gauname f(x) = cos(3x) – cos(2x) + cos(3x-pi/2) – 1 = 0.

– trečia, turime periodinę funkciją, susidedančią iš trijų periodinių kosinusų bei konstantos sumos. Akivaizdu, kad sumos periodas yra ne mažiau nei 2pi: cos(3x)=cos(3x + 6pi) ir taip toliau.

– vadinasi, f-ja turi begalybę sprendinių periodu ne didesniu nei 2pi. Randame vieną sprendinį: x=0. Kad būtų akivaizdžiau, galime atkeisti kosinusus į sinusus ir gauti, kad dviejų kosinusų suma lygi dvejetui, kas iškart veda prie lygties sprendinio.

Ko toliau negalėtų padaryti Pitagoras – bet turėtų mokėti Gimnazistas. Išdiferencijuoti ir įsitikinti, kad tarpinių sprendinių (išvestinės nulių) nėra bei surasti visų sprendinių atskaitos tašką (kur išvestinė plius kažkoks periodas lygūs nuliui) ;]

Jeigu būčiau ekselis, daryčiau kitaip:

– funkcijos cos bei sin turi žinomą periodą. Vaizduoja (-pi+n pi; pi+n pi] į [-1;1].

– vadinasi, mums tereikia pavarijuoti x taip, kad padengtume periodus 2x bei 3x „in“ [-pi;+pi].

– toliau dalijimo pusiau metodas, kuris duoda atsakymą x = 1/2 (4 pi n-pi).

Wolfram (prisiekiu, abu sprendimus radau ir be jo, tik patikrinau): http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%283x%29+%E2%80%93+cos%282x%29+%3D+sin%283x%29 .

patiko(0)



Artūras, Kovo 22 15:43  #

O kaip jums būtų lygtis sqrt(2)cos(3x+π/4) = cos(2x) ?
Iš duotosios lygties: cos(3x)-sin(3x) = cos(2x). Pasinaudojus Oilerio formule šitai galima perrašyti kaip:
[exp(3ix)+exp(-3ix)]/2+i[exp(3ix)-exp(-3ix)]/2 = cos(2x)
[(1+i)exp(3ix)+(1-i)exp(-3ix)]/2 = cos(2x)
sqrt(2)[exp(3ix+iπ/4)+exp(-i(3x+π/4))]/2 = cos2x
sqrt(2)cos(3x+π/4) = cos(2x)

Esu įsitikinęs, kad šį rezultatą galima gauti ir kitokių būdu, bet šitai taip pat yra priminimas, kaip galima gauti n-gubo argumento formules:

cos(kx)+isin(kx)=exp(ikx)=[exp(ix)]^k = [cos(x)+ isin(x)]^k

O šitą nėra sunku atlikti prisiminus Paskalio trikampį ir kad i^2=-1; i^3=-i ; i^4=1. Tada rezultato realioji dalis bus lygis cos(kx) o menamoji sin(kx)

patiko(0)



Asta, Spalio 31 18:53  #

geda pasakyt , pamirsau kaip spresti sia lygti:
-2x kvadratu -5x +3 = 0

patiko(0)



XHTML

Leistinos XHTML žymos:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>