*
Kokiu skaitmeniu baigiasi skaičius, gautas 2017 pakėlus 2017 laipsniu?
*
Ne, tai ne šios svetainės komentatoriaus S.Sokolovo pateiktas uždavinys. Tai iš tokios knygelės (tik ne penktai klasei…), kurios viršelį matote paveikslėlyje.
*
Sausio 19 dieną seminare Vilniuje, Šv. Kristoforo progimnazijoje turėčiau pristatyti „Šviesos“ leidinių seriją „Būk kietas!“ 5, 6 ir 7 klasei. Ruošiuosi. Ir vis prisimenu TV laidą „Nesu gudresnis už penktoką“… Nesu, tikrai nesu!
Nesu nei IQ testų žinovas, nei olimpiadinių uždavinių sprendėjas. Paskutinį kartą rajoninėje matematikos olimpiadoje dalyvavau būdamas šeštoje klasėje…
*
Bet juk yra olimpiečių! Jiems labai tiks tokios knygelės. O kitiems… irgi tiks! Nes aš visai lengvai sprendžiu „klasiką“, ir jūs, jaunieji mano draugai, apsidžiaugsite radę klasikinių uždavinių. O tos „razinos“ tegu palieka mūsų olimpinėms viltims.
Pažiūrėsiu, kiek „kieti“ yra mokytojai, kurie ateis į seminarą… Norite dalyvauti? Manau, kad „Šviesos“ tarnybos jus dar užregistruotų…
Atsakymai
Lukas, 2017-01-04 23:30:17
Sveiki, mane labai sudomino, kaip reikėtų tokį uždavinį išspręsti matematiškai? Jau ne pirmą kartą matau panašų, ypač kai sprendžiu bilietus VBE pasiruošimui, bet atsakymą sugebu gauti tik ieškodamas dėsningumų (ar uždavinio atsakymas 7?). Bijau, kad egzaminuotojams gali neužtekti paaiškinimo, jog paskutinis skaičiaus skaitmuo kinta pagal tam tikrą tendenciją…
Burgis, 2017-01-05 07:27:11
Lukui: tikrai tokio paaiškinimo pakaks! O svarbiausia – išspręsti sau, o ne kažkokiems tikrintojams…
Sokolovas, 2017-01-05 09:43:48
UŽDAVINIO SPRENDIMAS
2017^2017= (2017^2016)2017.
Kadangi 7^4= 2401, tai, su bet kokia natūraliąja k reikšme, 2017^(4k) baigiasi 1.
Skaičius 2016 yra 4 kartotinis, todėl pradinio reiškinio (pirmosios lygybės dešinės pusės) pirmasis dauginamasis baigiasi 1, o viso reiškinio reikšmė baigiasi 7.
Sokolovas, 2017-01-05 11:18:51
DĖSNINGUMŲ ĮŽVALGOS LAIMĖ
O žinote,-matematika ir yra mokslas apie dėsningumus. Matematinis griežtumas tik vainikuoja pažinimo vyksmą. O iš pradžių – Pirmoji pažintis su objektu. Ir dėsningumų paieška, įžvalgos…Jų keliama Laimė nustelbia prisvilusių puodų dūmus, tokius neišvengiamus, vos tik “ne tuo laiku” dėsningumų paieškos kelrodė apsireiškia…
Bus tų puodų…O dabar…
Nagrinėkime natūraliųjų skaičių seką:
1, 33, 97, 225, 481, 993….Raskime dėsningumą.
Aišku, matematinio tikslumo tokia pateiktis stokoja.
Tačiau tai yra tik Pirmoji pažintis su objektu, atmetanti pirmalaikio “visiško tikslumo” rutiną. Iš pradžių- tik dėsningumo “pajautimas”, įžvalga. Jei žmogus gali pasakyt (pamėginkite!), koks bus septintasis šios sekos narys, tai jis jau įžvelgė dėsningumą!
O dėsningumo suvokimas yra tik tada, kai toliau besigilinančiam žmogui pavyksta užrašyti sekos n-jo nario formulę. Šiuo atveju ji nėra sudėtinga. Bet matematika nėra duomenų įrašymas į knygoje surastą formulę. Formulė be jos kilmės suvokimo- tai simbolių kratinys, turįs daugiau atstumiančio, nei patrauklaus. Matematika nuolat atgimsta ten, kur vyksta nepaliaujama dėsningumų paieška…
Burgis, 2017-01-05 11:47:47
Sokolovui: labai norėčiau pamatyti tą septintoką, kuris Jūsų būdu išspręstų tą uždavinį. Tikrai tikiu, kad Lietuvoje bent penki tokie septintokai yra! Bet tikrai žinau, kad tokių, kaip Lukas yra bent tūkstantį kartų daugiau.
*
Tai gal verta prisiminti, kad kartais „ум за разум заходит“? Lietuviškai: iš didelio rašto išeinama už krašto…
Sokolovas, 2017-01-05 12:03:25
Gerb. Burgiui:
Tiesą sakant, aš nežinau, kaip tą uždavinį sprendė Lukas:)
Jis rašė tik tai, kad rėmėsi dėsningumais.
Be to, aš tikrai nemanau, jog mano pateiktas sprendimo būdas vienintelis…
Ir dar. Deja, neteko matyt ne tik septintoko, bet ir dvyliktoko ( juo labiau studento), kuris tokį uždavinį išspręstų. Nesakau, kad tokių nėra. Tiesiog dabar besimokantieji žmonės moka ( ir tai ne itin gerai) spręst tik standartinius uždavinius…
petras, 2017-01-05 14:06:25
p. Soklovai, o tai tikitės, kad standartinėse mokyklose visus mokinius mokins spręsti nestandartinius uždavinius ? juo labiau, kad dauguma jų sugebėtų išmokt ? antras klausimas, ar individų gebėjimas spręsti nestandartinius matematikos uždavinius yra vidurinio mokslo tikslas ? ar gal vis dėl to tikslas būtų išmokyti žmogų matematikos pagrindų ir jų (tų žinių) pritaikymo ?
Sokolovas, 2017-01-05 14:39:23
Petrui:
Aš nieko nesitikiu, aš konstatuoju…
Manau, jog bėda yra ta, kad kaip tik ir norima išmokyti VISUS, o ne galinčius bei norinčius mokytis.
“Kokybišką išsilavinimą VISIEMS”- kvailiausias dabarties strategų šūkis. Nes tais “visais” tampa pilkoji dauguma, kuriai ir skiriamas didžiausias dėmesys. Vardan tų “visų” karpomos mokymo programos, iki idiotizmo lengvinami egzaminai, tie “visi” be jokio konkurso (ir be reikiamų žinių) priimami į “universitetus”, kuriais, turbūt, greit pasivadins ir kolegijos. Viskas vardan “visų”.
O juk matematikos iš tikrųjų reikia ne visiems! Juk kažkas bus humanitaras, kažkas “liks prie meno”. O ir gatves šluoti reikės kažkam…
Bet ne,-JIE lyg papūgos kartoja- išsilavinimas VISIEMS.
Tie “visi” ir tampa ta agresyvia pilkąja mase, trukdančia galintiems, siekiantiems, norintiems…
“Sudominti asocialiuką-tinginiuką”- va dabartinio “švietimo” kelrodė! Ir vardan jos aukojami gabių vaikų lūkesčiai, vardan jos dar labiau deformuojama mūsų ateitis.
Ir todėl…Kiekvienas partinio biurokratizmo prisiuostęs demagogas gali papildyti “vanagų-reformatorių” gretas. VISI gali…
petras, 2017-01-05 16:04:38
Na tai dėl to ir nemokina niekas 7toj klasėj spręsti tokių užduočių. Iš pradžių konstatuojat ( su jaučiamu nuliūdimu), kad nemoka, o po to sakot, kad nereikia 😀
aš jus suprantu, aš ir norėčiau, kad būtų suskirstyti moksleiviai pagal gabumus. bet tam reiktų labai daug lėšų, kiltų daug problemų ir pan.
juk dabartinė sistema pakankamai efektyvi. vidurinis išsilavinimas suteikia pagrindines pradines žinias visiems (nes vaikas būdamas dar nežino kas bus, ar šlavėjas ar matematikas).o ir neleidus mokytis tarkim visai prastai besimokančiam, tai kur po to jį visuomenėje patalpint, beraštį ? aukštasis mokslas suteikia jau kryptingas giliasnes žinias. o kad aukštasis mokslas – universitetai grybą pjauną tai jau blogai.
panaši mokymo sistema visam pasaulyje plius minus.
Matas, 2017-01-05 22:45:24
Sokolovo uždavinio sprendimas (jei kam įdomu, nes mane patį sudomino):
Dėsningumas – turint vieną narį (A(i)), kitas, einantis po jo (A(i+1)), yra prieš tai buvęs padaugintas iš dviejų ir pridėta 31 (kitaip tariant, A(i+1)=2*A(i)+31).
n-ojo nario formulė, jei pirmajam nariui suteiksime indeksą 1, yra A(n)=2^(n+4)-31.
Beje, kad pateiktum uždavinio atsakymą, tikrai nebūtina rasti dėsningumus skaičių sekose – užtenka rasti juos p. Sokolovo elgesyje – jo visų uždavinių atsakymas juk tas pats 🙂
miklis, 2017-01-06 00:34:56
Studijuojant matematiką atėjo suvokimas, kad daugiausiai pasiekia (pavyzdžiui, išvažiuoja į pasaulinę olimpiadą) nebūtinai tie, kurie praleidžia daug valandų prie uždavinių ir laukia nušvitimo. Daug lemia matematinis apsiskaitymas, kuris susideda iš didelio kiekio matematinių objektų pažinojimo ir gebėjimo perprasti sudėtingesnį matematinį turinį. Deja, atrodo mokyklose matematinių temų sąrašas yra gan siaurokas, o gebėjimas suprasti matematinį turinį net gi ne mokinamas, o numokinamas, nes kažin, ar patys mokytojai pavežtų kad ir tą pačią aukštąją, neatidirbtą, matematiką. Pažvelgus į darbą tam tikrose universiteto paskaitose, susidaro toks įspūdis, kad studentai turi turėti mokslininkų protus. Būtent, mokyklinės matematikos supratimas turi būti vertas dešimtuko, o sugebėjimas suprasti teoremų įrodymus ir matematinių modelių principus staiga turi būti tapęs neregėtai produktyviu. Pavyzdžiui, KTU universitete per vieną semestrą yra išmokinamas visas algebros kursas, kurio VU mokinamasi bent 2 semestrus. Studentai turi išmokti didelius kiekius naujų apibrėžimų, ir, negana to, nepriekaištingai juos taikyti, kad galėtų suprasti teoremų įrodymus. Kaip jie gali tą išmokti nepraėjus nė vienam semestrui nuo studijų pradžios, jeigu mokykloje taikyti ir žinoti apibrėžimus, o po to juos pritaikyti įrodymų kalboje beveik nemokinta? Tokiais atvejais, jei esi studentas, kuris anksčiau buvo netgi dešimtukininkas, gali ištisas dienas ir naktis laukti nušvitimo, bet, žinot, stebuklų nebūna. Iš čia ir milžiniški kiekiai penketų, gautų per egzaminuose ir masiški nusirašinėjimai, darbų atlikinėjimai už pinigus ir pan.
miklis, 2017-01-06 00:49:19
Aš mokykloje būčiau labai apsidžiaugęs, jei atsirastų griežtas dėdė ir būtų paaiškinęs, kad rasti paskutinįjį skaičiaus 2007^2007 skaitmenį nėra vien uždavinys, kuriam reikia savo išminties ar kad kažkas būtų parodęs, kaip kažką panašaus spręsti. Tai yra uždavinys, kurį galima būtų išspręsti neįtikėtinai lengvai, jeigu mokinys būtų matęs grupių pavyzdžių. Grupių teorija sako, kad bet kuri liekana, kuri yra tarpusavyje pirminė su dalikliu, yra linkusi kartotis: 7, 9, 3, 1 ir bus vienintelės 4 liekanos, kurios sudaro dalybos iš 10 (tapusavyje pirminių su 10) liekanų grupę. Grupės eilė yra 4, todėl bet kurios liekanos 4-as laipsnis bus lygus 1. Taigi, susipažinimas su grupėmis ir gebėjimas perprasti tokius nelengvus dalykus, kaip grupės savybės, duotų daug didesnę naudą ir gerokai sutrumpintų laiko, nei daugiausiai laiko trunkantys bandymai surasti sprendimus, kurie tiesiog dažnai nešauna į galvą ir viskas.
Random, 2017-01-06 02:54:15
Simonai, pritariu. Bet juk įprastam vaikui užtektų principo – skaldyk ir valdyk bei paprasčiausios nuostatos, kad reikia ieškoti šablonų ar pasikartojimų. Kas bus jei 7 pakelsiu 1, 2, 3, 4 laipsniais? Kas bus jei 17 pakelsiu laipsniu? Čia turėtų ateit nušvitimas ir akivaizdus tolimesnis uždavinio sprendimas. Visą tai galima pritaikyt daugeliui mokyklinių olimpiadinių uždavinių ir ne tik. Šitaip visada galima pasitikrinti ir tai ką išmokai, gauti gilesnį suvokimą, išmokti manipuliuoti naujomis žiniomis.
aleksandras, 2017-01-06 07:33:01
Valstybės požiūrį į matematikos dėstymą (ir ne tik) parodo tas faktas, kad į lietuvių kalbą (deja ) nėra verčiami klasikiniai darbai, skirti matematikos metodams ir jos dėstymui…
Sokolovas, 2017-01-06 09:19:24
Matui:
Puiku! Džiugu, kad domitės…
O dėl atsakymo 2017, na, tai kad žmonės suvoktų, kad kelias teisingas. Juk tai nėra galinis atsakymas…O Jūs gavote nario formulę. Puiku!
Kaip tik visiška dauguma mokinių, mokančių rast sekos narius pagal duotą formulę, nesugeba atlikti atvirkščio uždavinio- įžvelgt dėsningumą bei jį išreikšt formulę.
Taigi- formulė- ne žinyne surastas simbolių kratinys, o suvoktas dėsningumas!
miklis, 2017-01-06 16:44:31
Aš bandžiau užsiminti, kad galbūt kartais ieškant dėsningumų gali būti per ilgai užsižaidžiama ir tai nėra optimalu, o kartais ir visai ne optimalu. Ypač, kas liečia studijų programas, kur tam tikrais atvejais atrodo, kad nieko doresnio ir nesugalvosi už dėsningumų arba bent vieno konkretaus pavyzdžio ieškojimą.
miklis, 2017-01-06 21:35:11
Tarp kitko, įdomu, kas sugebėtų įminti didžiąją mįslę, kaip suformuojama seka:
6,2,4,6,5,4,7,7,6,6,10,7,7,11,…
,,Sporom”, kad ne per daugiausia suaugę žmonės 😀
Rimas, 2017-01-11 18:56:57
mikli, jei siūlai lažybas, tai derėtų rašyti “sporim” (rusiškai norėjai pasisakyti, ania 😀
)