Egzaminas neišvengiamas kaip laikas…

Kovo 19, Pirmadienis

Po savaitės mano antrakursiai laikys pirmąją egzamino dalį. Šiandien repetavome. Man patiko du uždaviniai, kurie kažkaip iš kažkur atėjo į galvą. Ir jums patiks!
***
Pirmasis uždavinys. Kortų malkoje (kas per žodis! bet negalima sakyti kaladėje…) yra 32 kortos. Pradedantysis iliuzionistas žiūrovams sako:
– Ištrauksiu atsitiktinę kortą ir tai bus čirvų tūzas!
(Patyręs iliuzionistas klaustų žiūrovų, kurią kortą ištraukti…)
Visų akivaizdoje iliuzionistas sumaišo kortas ir iš atsitiktinės malkos vietos ištraukia čirvų tūzą. Kokia tikimybė, kad toje malkoje vien tik čirvų tūzai ir yra?
*
Sprendimas. (Man pačiam smalsu…). Iškeliame hipotezes, kad kortų malkoje yra vienas čirvų tūzas, du tūzai, trys, …, trisdešimt du. Taikome pilnosios tikimybės formulę:
P(A)= 1/32*1/32+1/32*2/32+1/32*3/32+…+1/32*31/32+1/32*32/32 = 1/(32*32)*(1+2+…+32)=1/(32*32)*(33*32/2)=33/64.
Taikome Bejeso formulę:
P(H32/A)= (1/32)/(33/64)=2/33.
Ne tokia jau didelė tokios apgavystės tikimybė…
***


Antrasis uždavinys. Yra dvi grandinės (pažiūrėkite, kaip nevykusiai aš jas nubraižiau…). Kiekvieno elemento patikimumas (tikimybė nesugesti) yra p. Įrodykite, kad antroji grandinė patikimesnė (tarkime, tekės srovė nuo pradinio iki galinio taško). Tuo pačiu įrodysime, kad lygiagretus junginys patikimumas didina, o nuoseklusis – mažina.
*
Lakoniškas, miglotas sprendimas. P(A)= p*p*p+p*p*p-p*p*p*p = 2p^3-p^4.
P(B)=p*p+p*p+p*p-p*p*p-p*p*p-p*p*p+p*p*p*p=3p^2-3p^3+p^4.

2p^3-p^4<3p^2-3p^3+p^4;
2p-p^2<3-3p+p^2;
2p^2-4p+3>0.
Dabar jau patys išspręskite šią kvadratinę nelygybę…
Taip ir ruoškitės egzaminui, jaunieji mano kolegos!

patiko(0)