Temoje „Sugundyti matematika nepavyko…“ 71 balsu prieš 23 laimėjo tie, kurie nori matematikos šioje svetainėje. Todėl bandau dar kartą…
*
Mane vis pakviečia prisidėti tai prie vieno, tai prie kito projekto. Bėda, kad maždaug du iš trijų projektų „miršta“ nepabaigti ne dėl mano kaltės… Nepaisant to, man įdomu dalyvauti!
Per savaitgalį, vieno projekto rengėjams paprašius, išsamiai išsprendžiau visus 2014 metų valstybinio abitūros egzamino uždavinius. Prirašiau net trylika „Word“ puslapių! Jei projektui to mano kūrinio neprireiks, galėčiau jį atiduoti abiturientams, mokytojams, korepetitoriams. Bet negalima mėtyti perlų kiaulėms. (Neįsižeiskite, čia tik toks apibendrinantis posakis…)
*
Darysiu taip: nusiųsiu el. paštu tuos 13 puslapių tiems, kurie perves bent kelis litus į mano labdaros ir paramos fondą ir parašys man tai patvirtinantį laiškelį el. paštu [email protected]. „Nusipirkusiems“ sprendimus, suteiksiu neribotas teises juos pardavinėti arba dovanoti kitiems žmonėms. Bet ne teises skelbti viešai! Bendrausiu tik su pirmuoju parašiusiųjų dešimtuku. Jei tokių žmonių bus… Dabar galima tik užsisakyti, bet „pirkti“ dar negalima, projektas dar „gyvas“!
*
O dabar dovanoju jums demonstracinį testą. Jį buvau parengęs kitam projektui, kuris pasibaigė neprasidėjęs… Atsakymus siųskite nurodytu el. pašto adresu. Jokiu būdu negalima atsakymų skelbti šioje svetainėje! Bet galima komentuoti testą.
Atsakymai
Burgis, 2015-02-10 08:58:32
Balsuokite už, nes kitaip trečiojo bandymo nebus…
Sokolovas, 2015-02-10 12:15:22
Gerb. Burgiui
Septintame uždaviny – ctg1, ar ctg0,1 ?
Tikriausiai sąlygoje turėjo būt ctg0,1…
Burgis, 2015-02-10 12:28:40
Sokolovui: o, taip, ačiū, turi būti 0,1… Tikiuosi, kad žmonės supras – penkiskart pasikartoja 0,1. Vis tiek atsiprašau.
Sokolovas, 2015-02-10 13:04:25
TARP EILUČIŲ
Pažymėkime didžiąja raide neneigiamą sveikąjį skaičių, rodantį, kiek kartų šiame teste atitinkama raidė rodė teisingą atsakymą.
Tuomet (C+cosA)(3C + cosB)(CDE – cosB)) bus lygu 2015….
Taigi, METŲ TESTAS !
blah, 2015-02-10 13:12:49
sokolovai, Jūs man panašus į autistą…
Povilas, 2015-02-10 13:20:40
Smagu ! Pakabinsiu darbe. 🙂 Kolegos turės ką veikti prie kavos.
Burgis, 2015-02-10 14:13:19
Sokolovui: na, aš taip negaunu: A-1, B-0, C-4, D-4, E-1. Ar ne taip?
Sokolovas, 2015-02-10 14:21:40
Gerb. Burgiui
Aš gaunu A-0, E- 2, toliau kiti sutampa.
Kadangi 9 uždavinio atsakymas aiškus, tai susidaro įspūdis, kad prasilenkiame 5 uždavinyje.
Tačiau juk lygties sprendinys suvokiamas kitaip, negu daugianario šaknis. Pvz, lygtis x kubu lygu 0 turi tik vieną sprendinį, arba TRIS ( sutampančias) ŠAKNIS.
Gal dėl to prasilenkėme?…Kai D=0, kvadratinė lygtis turi VIENĄ SPRENDINĮ, bet DVI SUTAMPANČIAS ŠAKNIS (kartotinę šaknį).
blah, 2015-02-10 14:35:05
na, Sokolovas kad ir autistas, bet teisus. Sprendinys užrašomas matematiniais simboliais, jeigu šaknys sutampa, niekaip skirtingai neužrašysi. Kitaip lygtis x=1 turėtų milijoną sprendinių: 1, 1, 1, 1, 1, …
blah, 2015-02-10 14:44:33
aišku burgis čia fundamentinę algebros teoremą kiša, bet reiktų uždavinį korektiškai formuluot taip, kad
“… gali būti perrašytas į išraišką (x-x1)(x-x2), kokie gali būti skaičiau x1 ir x2: A. toks ir toks…”.
O tada jau atsakymas ir “prigavimas” trivialus, niekas nesugalvotų rašyt, kad gali egzistuot tik vienas skaičius. Taip kad burgis pats save prigavo
blah, 2015-02-10 14:46:35
ir, be abejo nepaminėjau, kad toks subtilus abstraktus ” Š” tikrai mokykloj nepriklauso…
Burgis, 2015-02-10 15:20:10
blah: tai dabar naujiena! Negali būti x1=x2?!
Taip, gali pykti kiek nori, bet fundamentinių dalykų nepakeisi: n-tojo laipsnio algebrinė lygtis visada turi n sprendinių. Reikėtų vaikus to išmokyti jau mokykloje, kad mažiau būtų blah…
blah, 2015-02-10 15:50:28
na pasėdėkit pagalvokit, sokolovas iškart suprato, gal ir jūs suprasit
blah, 2015-02-10 16:20:16
nu gerai, nesugalvosit tikriausiai. Fundamentinė algebros teorema sako, kad n-ojo laipsnio lygtis visada turi šaknį. Ne n šaknų, o “šaknį”. Tai yra, bent vieną skaičių, kuris tenkina f(z1)=0.
Kontekstas: ši teorema visiškai nieko neturi bendro su šaknų kiekiu, ji turi bendro su tuo, kad kompleksinė funkcija negali turėti tikro minimumo jokiam baigtinio dydžio diske. Kitaip sakant, teorema sako, kad “lygtis negali neturėti sprendinio”, o kiek turi sprendinių, tai jau kitas klausimas.
Tada jau galima spręsti toliau, f(z) kampu padalint is z-z1, gauti n-1 laipsnio polinomą, tada vėl pritaikyti teoremą ir taip tęsti, kol nebeliks iš ko dalinti.
Taip teorema palieka:
z^n + a z^n-1 +… = (z-zn)(z-zn-1)…(z-z1).
Kaip matot niekur nefigūruoja žodis “šaknis” arba “sprendinys”.
Dabar, jeigu apibrėši žodį “sprendinys” = rinkinys {zn, …, z1}, tada akivaizdu, kad antro laipsnio polinomas turės dvi šaknis, čia tiesiog tautologija, raidė užrašyta ant popieriaus negali neegzistuot. Todėl toks E atsakymas tampa trivialiai neteisingas, bet ne dėl to, kad mokinys kvailas, o dėl to, kad jūs nematomai apibrėžimą kitokį pateikėte, nei jie žino.
Bet jeigu apibrėši žodį “sprendinys” = kompleksinis skaičius, kurį įsirašius f(z) bus lygus nuliui, tada bus būtina skaičiuoti tik nepasikartojančias šaknis, nes jeigu skaičiuosi ir pasikartojančias, tada sprendinių skaičius bus begalinis: lygtis (z-1)^2=0 turės ne tik sprendinius 1, 1, bet dar ir 1, 1, 1, 1, 1…
Prirašiau daug, bet moralas: blogai, kai iš rašto išeini iš krašto, mokykloje priklauso žmoniški ir praktiški dalykai, o ne topologijos taikymai algebroje
Sokolovas, 2015-02-10 18:53:51
DĖL PAGRINDINĖS ALGEBROS TEOREMOS, LYGČIŲ SPRENDINIŲ, DAUGIANARIO ŠAKNŲ SKAIČIAUS IR …MATEMATINIO TIKSLUMO
Gerb. Burgiui.
Jūs rašote:”Taip, gali pykti kiek nori, bet fundamentinių dalykų nepakeisi: n-tojo laipsnio algebrinė lygtis visada turi n sprendinių…”
Tačiau…Ką tada galime sakyti apie uždavinius ( daugybėje vadovėlių, uždavinynų, bei VBE variantų), kurių sąlygoje klausiama-“su kokiomis parametro reikšmėmis (kvadratinė) lygtis turi VIENĄ SPRENDINĮ?”.
Lygtis turi SPRENDINIŲ AIBĘ (atskiru atveju-tuščią). Pvz, lygtis e laipsniu z lygu nuliui neturi sprendinių, lygtis e laipsniu z lygu (-1) neturi sprendinių realiųjų skaičių aibėje, bet kompleksinių skaičių aibėje ji turi be galo daug sprendinių…
Aišku, ši lygtis NĖRA ALGEBRINĖ.
Dėl ALGEBRINIŲ LYGČIŲ:
Pagrindinė algebros teorema yra formuluojama taip:
Kiekviena ALGEBRINĖ LYGTIS turi BENT VIENĄ KOMPLEKSINĮ SPRENDINĮ. Taigi, čia- jokių prasilenkimų ( nepraleidus žodžio KOMPLEKSINĮ ! ) . Ir tik šios, taip pat ir Rušė teoremos, išvada formuluojama taip: “Kiekvienas n-jo laipsnio DAUGIANARIS turi n kompleksinių šaknų”. Prieš formuluojant pastarąjį teiginį, yra apibrėžiama ŠAKNŲ SKAIČIAUS sąvoka ( šaknų kartotinumo eilių suma).
Taigi, jei laikysimės sąvokų tikslumo, jokių prasilenkimų nebus. Pagarbiai.
P.S. Žodis “visada” matematinėse formuluotėse nevartotinas.
Sokolovas, 2015-02-10 19:16:33
DĖL “BALTŲJŲ DĖMIŲ” MATEMATIKOS DĖSTYME
Apmaudu, bet matematikos dėstyme iš tikrųjų apstu “baltų dėmių”. Tai, kad jų būta “gyvybingų”, akivaizdžiai rodo į akademinės visuomenės abejingumą matematikai kaip dėstomajam dalykui.
Pateiksiu PAVYZDĮ:
Mokyklos vadovėliuose aiškinama, jog neigiamų skaičių negalima kelt laipsniu su trupmeniniu rodikliu, pvz, negalima kelt (-8) laipsniu 1/3. Nors kubinė šaknis iš neigiamo skaičiaus neginčijama niekur. Vadovėliuose pateikiamas paaiškinimas, dėl ko taip yra ( grindžiama trupmenos savybe, pvz, 1/3= 2/6 )…
Tuo tarpu aukštojoje mokykloje tai “išgaruoja”. Ir…joks studentas neklausia, pavyzdžiui, kodėl astroidės lygtyje ( x laipsniu 2/3 plius y laipsniu 2/3 lygu teigiamam skaičiui) nėra modulio ženklo! ( Mokykloje jam už x laipsniu 2/3, kai x neigiamas, rašydavo dvejetus).
Dar daugiau. Mokyklos vadovėliuose ( pvz, 2002 m K. Intienės ir kt. parengtame 11 klasės matematikos vadovėlyje, mėlynas viršelis) net nulis “nekeliamas” laipsniu su trupmeniniu rodikliu. Ir…jokio pagrindimo tokiai nesąmonei nepateikiama! O įdomiausia tai, jog to paties vadovėlio, skirto jau 12 klasei, temoje “Integralas”, nulis jau keliamas laipsniu 3/2…Ir VISI APIE TAS “BALTĄSIAS DĖMES” TYLI.
“Baltųjų dėmių” matematikos dėstyme yra ir daugiau.
Burgis, 2015-02-10 19:33:18
Ne, aš tiek neperskaitau…
*
Sprendžia mokinukas: x1,2=(-b+-SQRT(b*b-4ac))/2a;
Mato, kad SQRT(…)=0.
Ir užrašo: x1,2=-b/2a.
Ir jis teisus!
Burgis, 2015-02-10 19:43:18
Neiškenčiau, dar kartą užmečiau akį į judviejų, žinovai, dėstymus. O, Santa Barbara! Kuriam studentui ar abiturientui, jau žinančiam šį tą apie kompleksinius skaičius, gali kilti abejonių, kad kvadratinė lygtis su realiaisiais koeficientais (kitokių naujokai nesimoko!) visada, pabrėžiu, VISADA turi DVI jungtines kompleksines šaknis tuo atveju, jei neturi DVIEJŲ (galbūt vienodų) realiųjų šaknų!?
*
Rusiškai apie jūsų išvedžiojimus sakoma: um za razum zachodit…
Burgis, 2015-02-10 20:26:44
Dar pagalvojau: tai kažin kaip Sokolovas ir blah aiškina antros eilės tiesinių homogeninių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimą?
Sokolovas, 2015-02-10 21:53:16
Gerb. Burgiui.
DĖL TIESINIŲ HOMOGENINIŲ 2 EILĖS DIF.LYGČIŲ SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS.
Kai charakteringojo DAUGIANARIO šaknys:
- Skirtingos realios….
2 Sutampančios (Kartotinė ŠAKNIS)….
3 Menamosios ( t.y. kompleksinės, su nelygiomis nuliui menamosiomis dalimis) ( aišku, teisinga sakyti ir jungtinės kompleksinės)…..
Teisinga sąvoka- charakteringasis DAUGIANARIS bei jo šaknys. Iš šios pirmapradės sąvokos atsirado ir dažnai vartojama “charakteringoji lygtis”.
P.S. Realiųjų skaičių aibė yra kompleksinių skaičių aibės poaibis. Todėl netikslu trečią atvejį apibūdint “kompleksinės šaknys”. Trečiu atveju charakteringojo daugianario šaknys yra MENAMOSIOS. Nevalia menamųjų skaičių painioti su GRYNAI MENAMAISIAIS. Pvz, 2+3i yra MENAMASIS skaičius, 3i- grynai menamas…
Sokolovas, 2015-02-10 22:10:17
AŠ IR NENEIGIU, KAD:
Kiekvienas KVADRATINIS TRINARIS ( antrojo laipsnio DAUGIANARIS) su realiaisiais koeficientais turi dvi kompleksines šaknis, kurios arba realios ( atskiru atveju lygios), arba menamosios ( jungtinės).
Viena iš pagrindinės algebros teoremos ( ir Rušė teoremos) išvadų- KIEKVIENAS N-JO LAIPSNIO DAUGIANARIS TURI N KOMPLEKSINIŲ ŠAKNŲ.
Sokolovas, 2015-02-10 22:20:14
VIS TIEK TIESA BRANGESNĖ…
Daugianario šaknų skaičius turi būt apibrėžtas kaip sąvoka. Tai šaknų kartotinumo eilių suma.
Pavyzdys: Daugianaris ( trečiojo laipsnio)
(x-2)(x-2)(x-2) turi kartotinę šaknį 2. Jos eilė yra 3. Kadangi šis daugianaris daugiau šaknų neturi, tai sakoma, jog JO ŠAKNŲ SKAIČIUS YRA LYGUS 3.
Bet NETEISINGA SAKYTI, jog LYGTIS
(X-2)(X-2)(X-2)=0 “turi tris sprendinius”. SPRENDINYS YRA TIK VIENAS- skaičius 2.
Beje, testo 5-me uždavinyje yra kalbama apie SPRENDINIUS, o ne apie ŠAKNIS…
Burgis, 2015-02-10 22:28:00
Sokolovui: nutraukiu su Jumis diskusiją šiuo klausimu, primindamas kazachų patarlę: „Neišsilaikei ant arklio – nėra ko griebtis už uodegos.“
Burgis, 2015-02-11 18:45:11
Ačiū balsavusiems! Bus dar ne vienas gundymas matematika…
Darius, 2015-02-26 14:21:08
Tai reziumuojant protingi kurmiai koks atsakymas 5 uždavinio?
Sūnus septintokas klausia ar teisingai jis mano. Man lygtai atrodo kad E ir bandau kaimiškai paaiškinti, kad kvadratinė lygtis turi 2, 1 arba 0 sprendinių(priklausomai nuo diskriminanto). Tai perrankant variantus lieka tik atsakymas E. D atmetu, nes uždaviniai mokinimams tai apie kosmosa dar nesimokina.
Sokolovas, 2015-02-27 19:20:11
Gerb. Dariui
Tą klausimą čia mes ilgai gvildenom, ir išgvildenom. Teisingai, to uždavinio teisingas atsakymas E.
Kvadratinė lygtis, kai D=0, turi VIENINTELĮ SPRENDINĮ. Tuo tarpu kvadratinis trinaris šiuo atveju turi dvi sutampančias šaknis.
Burgis, 2015-02-27 19:34:21
Dariui: jokiu būdu nesutinku su Sokolovo terminologija! Tai moksleiviams vėžį galinti sukelti terminologija. Bet Jūs galite pasirinkti…
Sokolovas, 2015-02-27 21:10:16
Gerb. Burgiui
Dėkui, bet būsiu kuklus- tai ne mano terminologija…
O moksleiviai, manau, tokias sąvokas, kaip daugianario šaknų skaičius, vis tiek nesupranta. Nes jiems tiesiog neaiškinama apie daugianarius!
Ir dar. Pavyzdžiui, transcendentinė lygtis
exp(x kvadratu + 1)= e
turi vieną sprendinį ( 0), ar “du sutampančius”? Juk lygtis ne algebrinė. Tačiau ji yra ekvivalenti algebrinei lygčiai
x kvadratu = 0…
Va tokie dalykai irgi galį moksleiviams kelti, na, ne vėžį, bet šiek tiek painiavos…
Pagarbiai.
Burgis, 2015-02-27 21:58:11
Википедия:
Корень — это значение переменной x, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное равенство.
D=0: корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях — его, к тому же, называют корнем кратности 2)
***
A real number x will be called a solution or a root if it satisfies the quadratic equation.
(http://www.sosmath.com/algebra/quadraticeq/root/root.html)
***
A quadratic equation with real or complex coefficients has two solutions, called roots. These two solutions may or may not be distinct, and they may or may not be real.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation)
***
Daugiau Jums, gerb. Sokolovai, nieko negaliu pasakyti…
Sokolovas, 2015-02-27 22:50:42
Gerb. Burgiui.
Parašyta aiškiai- “kai kuriais atvejais”…Ir kalbama apie daugianarį ( apie kvadratinį trinarį).
Na, gerai…Vadinasi, ekvivalenčios lygtys ( pavyzdį pateikiau savo ankstesniame komentare) gali turėti skirtingą sprendinių skaičių…:)
Tiek to, tebūnie…:)
Burgis, 2015-02-28 09:33:10
Paskutinis Sokolovui:
A quadratic equation with real or complex coefficients has two solutions, called roots. These two solutions may or may not be distinct, and they may or may not be real.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation)
***
Daugiau Jūsų komentarų nekomentuosiu. Nenoriu pereiti į asmeniškumus…
Vytis, 2017-08-19 23:23:11
Kodėl nerodote metų nei prie straipsnių, nei prie komentarų?