Kalėdinė dovana mano studentams

Lapkričio 27, Sekmadienis

Laikas! Paskui dovana nebus tokia vertinga…
Kartą užsiėmimo metu „gimė“ toks uždavinys.
***
Du šauliai pakaitomis šaudo į taikinį tol, kol kuris nors pataiko. Pirmojo šaulio taiklumas (tikimybė pataikyti vienu šūviu) yra 0,9, antrojo ta tikimybė yra 0,8. Žinoma, kad taikinys buvo numuštas kiekvienam šauliui iššovus ne daugiau kaip tris kartus. Tegu X – pirmojo šaulio šūvių skaičius, Y – antrojo šaulio šūvių skaičius.
Raskite atsitiktinio dydžio (X,Y) koreliacijos koeficientą ir regresijos tieses.
***
Pirmieji trys studentai, išsprendę šį uždavinį ir galintys sprendimą paaiškinti, pagrįsti, gaus plius penkis balus prie viso egzamino rezultato!
***
Aš jums padėsiu arba pakenksiu… Jei tai, ką dabar parašysiu, yra teisinga – pasinaudokite, jei ne – nenueikite šiuo klystkeliu…
***
Sudarykime vieno (pirmojo) šaulio šūvių skaičiaus skirstinį (antrojo šaulio išvis nėra!).
Kokia tikimybė šauliui numušti taikinį?
P(A) = 0,9 + 0,1*0,9 + 0,1*0,1*0,9 = 0,999.
Bet mes jau žinome, kad taikinys numuštas! „Patiksliname“ tikimybes, kad taikinys numuštas pirmuoju, antruoju ar trečiuoju šūviu:
P(A1) = 0,9/0,999 = 0,900900900…
P(A2) = 0,09/0,999 = 0,0900900900…
P(A3) = 0,009/0,999 = 0,00900900900…
Kokie įdomūs skaičiai! Tai ir yra skirstinio tikimybės. Bet gal aš klystu?…

patiko(0)



RSS

Atsakymai (20)

Marius A., Lapkričio 27 21:10  #

Sugalvojau sprendimą, manau, kad jis teisingas ;-)

Nuo kada galima bandyti pateikti jį čia, nepakenkiant studentams?

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 27 22:14  #

Mariui A.: prašyčiau palaukti tris dienas! :-)

patiko(0)



Iš arčiau, Lapkričio 27 23:41  #

O jeigu studentai pasitelks „salės pagalbą“ ar „skambutį draugui“ vistiek gaus +5 balus. Tikrai dosnu Kalėdų proga :)

patiko(0)



matematikas, Lapkričio 28 01:39  #

Kažkaip labai keistai skamba atsitiktinio dydžio koreliacijos koeficientas… bent truputį teisingiau gal vadinti atsitiktinio vektoriaus (X,Y) arba atsitiktinių dydžių X,Y?

Net jei nepasisikė penkis kartus iš eilės, šeštas kartas su tikimybe 1 pasiseks!!! Sėkmės studentai:)

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 28 10:16  #

Iš arčiau: taip, šįryt studentams per paskaitą sakiau, kad gali atsirasti ir tokių, kurie vagia kalėdines dovanas. Bet kol kas negirdėjau apie tiek nužmogėjusius… Nuo tikro vagies spynos nėra. Saugiklis yra – paaiškinti.

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 30 10:22  #

Stop! Turiu tris darbus, daugiau nebepriimu. Dabar jau Marius A. gali paskelbti savo sprendimą.
Ačiū! Likau patenkintas…

patiko(0)



matematikas, Lapkričio 30 12:40  #

R=0?

patiko(0)



matematikas, Lapkričio 30 19:56  #

Uii…suklydau. Tikėkimės šįkart į taikinį :) R =0,466.

patiko(0)



Marius A., Lapkričio 30 21:43  #

Hm. Vis tik galvojau apie save per gerai (bet tai nėra retas atvejis ir tai nėra blogai, manyčiau ;-) ).

Su skirstiniais, tikiuosi, man yra aišku (mano sprendimo bandymas žemiau). O va koreliacijos koeficientai ir regreso tiesės – arba nesimokiau arba totaliai pamiršau. Net internete hint’ai nepadeda, o mokytis „nuo nulio“ nepakaks motyvacijos. ;-)

Taigi, ką išmasčiau:

Paskaičiuojam tikimybes P(Xn), čia X – šaulys A ar B, n – jo šūvio bandymo numeris. Suminė tikimybė S(Xn) rodo, kokia tikimybė, kad taikinys sunaikintas šiuo šūviu arba ankstesniais.

P(A1) = 0.9; S(A1) = P(A1) = 0.9;
P(B1) = (1-S(A1))*0.8 = 0.08; S(B1) = S(A1) + P(B1)=0.98;
P(A2) = (1-S(B1))*0.9 = 0.018; S(A2) = S(B1) + P(A2) = 0.998;
P(B2) = (1-S(A2))*0.8 = 0.0016; S(B2) = S(A2) + P(B2) = 0.9996;
P(A3) = (1-S(B2))*0.9 = 0.00036; S(A3) = S(B2) + P(A3) = 0.99996;
P(B3) = (1-S(A3))*0.8 = 0.000032; S(B3) = S(A3) + P(B3)= 0,999992;

Nors S(B3) artimas 1, bet vis tiek atliekam tikimybių patikslinimus, kad jų suma būtų 1. Skaičiai trupmeniniai, todėl naudojuosi Excel.
Suapvalintos patikslintos tikimybės:

A B
0,900007 0,080001
0,018000 0,001600
0,000360 0,000032

———————
Toliau tik spėliojimai…
———————
Gal koreliacijos koeficientui skaičiuoti reikia susirašyti į matricą, kur matysime X priklausomybės nuo Y svorius? Nebežinau, pratęskit kas nors ;-)

X \ Y 0 1 2 3
0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
1 0,900007 0,080001 0,000000 0,000000
2 0,000000 0,018000 0,001600 0,000000
3 0,000000 0,000000 0,000360 0,000032

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 30 22:10  #

Ačiū, Gerb. Mariau! Pirmadienį viską aptarsime su studentais, ir aš čia parašysiu verdiktą…

patiko(0)



matematikas, Lapkričio 30 22:27  #

Nežinojau, kad galima patikslinti tikimybes :) Tikimybė turi savybę, kad būtino įvykio tikimybė visada lygi 1, belieka šiuo atveju tik tiksliai įvertinti elementarių įvykių tikimybes, žinant papildomą informaciją. Pavyzdžiui, taikyčiau ją taip: jei buvo iššautas šeštas šūvis, jis buvo taiklus, t.y. P(Antras šovė 3 kartus) = 0,1^3 * 0.2^2
P(Pirmas šovė 3 kartus) = 0,1^2*0.2^2*0.9 + 0,1^3 * 0.2^2
Man irgi įdomu, kiek bus skirtingų regresijos tiesių… Tikriausia tik viena.

patiko(0)



Marius A., Gruodžio 1 00:01  #

Matematikui: vadinkite tai ne „patikslinta tikimybe“, o atmestus netinkamus atvejus.

Pavyzdys: jei metame dvi monetas – tai tikimybė, kad abi atvirs skaičiumi yra 1/4 (viso yra 4 skirtingi rezultatai su vienoda tikimybe – 00, 01, 10, 11). Tačiau jei pasakysiu, kad „bent viena atvirto skaičiumi“ – vadinasi mes iš eksperimento išbraukiame visus atvejus, kai atsivertė du herbai ir tada yra trys rezultatai, iš kurių vienas tinkamas ir „patikslintos tikimybės“ pasidaro po 1/3 ;-)

patiko(0)



matematikas, Gruodžio 1 02:28  #

Marius A: ačiū už paaiškinimą. Tada viskas labai puiku :) tik, rodos, tą „patikslinimą“ reikėtų vadinti sąlyginės tikimybės skaičiavimu (t.y. jūs dalinate/normuojate iš įvykio, kad bus ne daugiau nei šeši šūviai, tikimybės).
Jūsų pavyzdys tampa dar „gudresnis“, kai monetos nesimetriškos/nevienalytės.
Jei nesuklydau skaičiuodamas, Mariaus A. R=0,467. Mano ankstesnis rezultatas (kartu su pamąstymu) negeras.

patiko(0)



Burgis, Gruodžio 1 08:24  #

Mariui A.: Kol kas tik užmečiau akį, bet kilo įtarimų… Ką reiškia „Suapvalintos patikslintos tikimybės“? Kaip patikslintos? Be to, būtų įdomu pamatyti skaičiavimus, kaip pradinės tikimybės yra ne 0,9 ir 0,8, o, pavyzdžiui, 0,1 ir 0,2.
Būsiu dėkingas, jei pataupysite mano laiką…

patiko(0)



Marius A., Gruodžio 1 19:44  #

Dėl „patikslintos“ – Jūs pats naudojote šį terminą:
> Bet mes jau žinome, kad taikinys numuštas!
> „Patiksliname“ tikimybes,

Skaičiavimai su 0,1 ir 0,2 (Šaulys, jo tikslumas, šūvio numeris, pataikymo tikimybė ir suminė tikimybė, kad taikinys numuštas šiuo ar įvykusiais šūviais:

A 0,1 1 0,100000000 0,100000000
B 0,2 1 0,180000000 0,280000000
A 0,1 2 0,072000000 0,352000000
B 0,2 2 0,129600000 0,481600000
A 0,1 3 0,051840000 0,533440000
B 0,2 3 0,093312000 0,626752000

„Patikslintos“ tikimybės, jei sakoma, kad po 6 šūvių taikinys tikrai numuštas:
A1 0,1595527418
B1 0,2871949352
A2 0,1148779741
B2 0,2067803533
A3 0,0827121413
B3 0,1488818544

patiko(0)



Burgis, Gruodžio 1 21:00  #

Ačiū, Mariau, lakoniška, bet aiškiau… :-). Palaukime pirmadienio.

patiko(0)



Burgis, Gruodžio 6 11:15  #

Tai jau galiu pasakyti, ką norėjau sužinoti…
Yra Bejeso formulė, kuri „patikslina“ hipotezių tikimybes. Bet juk čia (mano pavyzdyje) nebuvo hipotezių. Tai aš vis tiek sugalvojau tokį patikslinimą. Ir pats nežinau, ar tai teisinga. Neturiu nei laiko, nei noro gilintis, todėl pateikiau žmonių teismui. Panašu, kad ne tik šios svetainės lankytojai, bet ir sprendimus pateikusieji studentai neatmetė mano būdo. O tai gal reiškia, kad pasiūliau gana naują ir gana originalų uždavinį, nes pats iki šiol tokio sprendimo nesu matęs. Tiesa, Mariaus A. pastaba apie atmestus variantus reikštų, kad nieko naujo (atmesti variantai – tai sąlyginių tikimybių tema), bet kad aš čia neįžiūriu atmestų variantų…
Tuo ir baigiu. Plojimų nereikia.

patiko(0)



Statybininkas, Sausio 5 17:11  #

Laba vakara. Gal čia bus klausimas ne į temą, bet norėčiau pasiteirauti. Jeigu Jūs man iš Tikimybių teorijos ir statistikos parašete 8 galutinį pažymį, o iš Petro Ražansko pratybų turiu 10, ar atėjas i Egzaminą, sausio 17d. galėčiau šį balą pasikelti iki 9? Ačiū už atsakymą.

patiko(0)



Burgis, Sausio 5 19:39  #

Statybininkui: taip!

patiko(0)



Studentukas, Sausio 16 19:23  #

Sveiki, norejau paklausti (aisku ne i tema cia), todel nepykit. Klausimas bus vat toks, jei as turiu galutinis 6 is Jusu, tai atejas i egza galiu pasikelti pazymi? galioja ta pati taisykle, kaip saket, kad atejas i egzamina, maziau nei turejai, negausi? tad maziau kaip 6 negauciau?

patiko(0)



XHTML

Leistinos XHTML žymos:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>