Šventė studentams, šventė ir man

Lapkričio 5, Šeštadienis

Šventė! Auditorijoje – šimtas studentų! Tiek buvo nebent pirmojoje paskaitoje…
Pateikiu užduotis – visiems vienodas!
***
Pasirinkite ir atlikite TIK DVI užduotis iš pateiktųjų
1. Kvantiliai.
2. Iš pobūvyje surengtos loterijos m bilietų n yra „laimingi“ (n < m). Įrodykite, kad tikimybė tau ištraukti „laimingą“ bilietą nepriklauso nuo to, kelintas iš svečių eilės tu trauksi bilietą.
3. Įrodykite, kad lyginių skaičių kvadratai yra lyginiai skaičiai, o nelyginių skaičių kvadratai – nelyginiai skaičiai.
4. Karvelidėje yra keturios angos į narvelius. Atskrido trys balandžiai. Keliais būdais jie gali pasiskirstyti į narvelius? Kokia tikimybė, kad visi balandžiai pasirinks skirtingus narvelius?
5. Pateikite pavyzdį tokio tolydžiojo atsitiktinio dydžio, kurio mediana yra didesnė už vidurkį. Apskaičiuokite to dydžio medianą, vidurkį,  x_0,1 kvantilį, dispersiją, standartą. Nubraižykite tankio ir pasiskirtymo funkcijų grafikus.
6. Pateikite pavyzdį tokio diskrečiojo atsitiktinio dydžio, kurio mediana yra mažesnė už vidurkį. Apskaičiuokite to dydžio medianą, vidurkį, kurį nors kvartilį, dispersiją, standartą. Nubraižykite  pasiskirtymo funkcijos grafiką.
7. Uždavinys apie strypelį (lazdelę), supjaustytą į tris dalis.
***
Dabar taisau darbus. Renku pabiras… Kol kas (ištaisiau tik tuziną…) – vienas teigiamas iš dešimties. Pridėjus visas premijas.
Įrodymų! Įrodymų trūksta kaip oro… Nagi – kas nors įrodykite tai, ko prašoma antroje užduotyje. Įrodykite, o ne parodykite!

patiko(0)



RSS

Atsakymai (36)

Burgis, Lapkričio 5 14:57  #

Kas nepatinka?… :-)

patiko(0)



Studentas, Lapkričio 5 18:11  #

kada rezultatai????? kur paskelbsit??? parasykit daugiau teigiamu :DDDDDDDDDD

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 5 18:12  #

Rezultatai – pirmadienį. Paskelbsiu auditorijoje kiekvienam asmeniškai.

patiko(0)



Studentas, Lapkričio 5 18:14  #

jei nusipirkom jusu knyga, bus +1balas??? ;)

patiko(0)



Stasys, Lapkričio 5 19:31  #

Iš 10, vienas teigiamas- gerai nuteikia pirmadieniui, bus įdomu ;)

patiko(0)



Martynas, Lapkričio 5 19:34  #

Sugalvojau, kaip antroje užduotyje įrodyti, jog antro traukiančio galimybė laimėti yra ne mažesnė už pirmo traukiančiojo. Įtariu, jog to nepakanka. Gal kas nors galėtų parodyt, kaip įrodyti pilnai?

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 5 19:52  #

Studentui: ne, už knygą nepridedu, būtų korupcija… :-( Bet štai viena studentė gavo teigiamą įvertį, pakartojusi šį tą iš tos knygos. Tik nepanašu, kad ji būtų ką nors supratusi. O įrodyti negaliu!

patiko(0)



elad, Lapkričio 5 20:18  #

ne į temą…
Gal kas nors įvertins garsiąją parodą „Mokykla 2011“

patiko(0)



Ignas, Lapkričio 5 22:09  #

Išsiskiriantis atrodo trečiasis uždavinys. Ar būtų buvęs užskaitytas įrodymas, besiremiantis tik skaičių teorija? (Pagrindiniu aritmetikos dėsniu).

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 5 22:17  #

Ignui: taip, šį uždavinį daug kas pasirinko. Kurgi ne! Visi mėgsta lengvus… Deja, elegantiškai įrodžiusių nedaug, o ir uždavinio „svoris“ mažas – kam tai neaišku?
O Jūs, Ignai, čia ir įrodykite – aš pakomentuosiu.

patiko(0)



Marius A., Lapkričio 6 09:12  #

Trečiasis uždavinys, manau, yra pats lengviausias ir įrodomas gana elegantiškai:

Lyginis skaičius – 2*n, čia n – natūrinis skaičius. Vadinasi, jo kvadratas yra (2*n)^2 = 4*n^2. Skaičius yra lyginis, nes natūrinio skaičiaus kvadratas yra natūrinis, o padauginus iš 4 – jis tikrai dalinasi iš 2.

Nelyginis skaičius – 2*n+1, čia n – natūrinis skaičius. Vadinasi, jo kvadratas yra (2*n+1)^2 = 4*n^2 + 4*n + 1. Pirmi du dėmenys – lyginiai skaičiai, todėl jų suma – taip pat lyginis skaičius, o prie lyginio skaičiaus pridėjus 1 – rezultatas yra nelyginis skaičius.

patiko(0)



Marius A., Lapkričio 6 09:39  #

Na, pabandom dar ir antrąjį.

Pirmasis traukiantis turi tikimybę laimėti n/m.
Jei pirmasis ištraukė laimingą bilietą – antrojo tikimybė laimėti yra (n-1)/(m-1). Jei pirmasis ištraukė nelaimėjusį bilietą (to įvykio tikimybė yra 1-(n/m)), antrojo tikimybė laimėti yra (n/(m-1)). Vadinasi, bendra antrojo traukiančiojo tikimybė laimėti yra lygi:

(n/m)*(n-1)/(m-1) + (1-(n/m))*(n/(m-1)).

Praleidžiu reiškinio suprastinimą (labai nepatogu rašyti trupmenas vienoje eilutėje), bet subendravardiklinus ir suprastinus rezultatą gauname n/m, arba tą pačią tikimybę, kaip ir pirmojo traukiančiojo.

Įrodėme, kad pirmasis ir antrasis traukiantieji turi tą pačią tikimybę laimėti. Tačiau ištraukus pirmąjam – turime tą patį uždavinį, tik m’ = m-1, o n’=n arba n-1, priklausomai nuo to, ar ištrauktas laimingas, ar nelaimingas bilietas. Įstačius reikšmes – vėl gauname, kad antrasis ir trečiasis turi vienodą tikimybę laimėti.

Vadinasi, visi traukiantieji turi vienodą tikimybę laimėti.

Beje – labai įdomus atvejis, kai m=2, o n=1. Abu traukiantieji turi _vienodą_ tikimybę laimėti, tik antrasis to visiškai neįtakoja.

Tai labai panašu į „Šriodingerio katino“ paradoksą, nes pirmajam ištraukus bilietą ir jo nepažiūrėjus – antrojo laimėjimo tikimybė yra 1/2 (nežiūrint į tai, kad tai jau yra nuspręsta, tik stebėtojai rezultato dar nežino). Tačiau pirmajam pažiūrėjus – antrojo tikimybė, priklausomai nuo pirmojo rezultato pasidaro 0 arba 1 ;-)

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 6 10:38  #

Ačiū, Mariau! Norėčiau turėti tokių studentų! O gal Jūs ir esate (buvote) vienas iš jų? :-)

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 6 11:36  #

Štai ir žinau rezultatą: 102 : 17.
*
Keletas citatų (klaidų netaisau…):
*
Keliant kvadratu nelyginį kartų tas skaičius sudedamas 3^2 = 3+3+3.
*
Atsitiktinai pasirenkame du taškus ir per juos pjauname. Kokia tikimybė, jog gautos trys lazdelės yra vienodo ilgio?
*
Sakykime loterijoje išviso yra 1000 bilietų, iš jų 500 laimingų. Prieš mane jau 100 žmonių traukė bilietus, tikimybė ištraukti laimingą yra 1/2 vadinasi laimingų buvo ištraukta: n1 = 100*1/2 = 50.
*
Kokia tikimybė, kad strypelį perkirtus dviejose vietose, gautos trys dalys bus vienodo ilgio?
*
Kodė? O todėl, kad ir jai bilietų būtų milijonas, o iš jų laimingas tik vienas, vistiek priėjęs prie urnos arba ištrauks laimingą bilietą arba ne.
*
Kokia tikimybė, kad strypelis supjaustytas į 3 lygias dalis?
*
Uždavinys apie strypelį (lazdelę), supjaustytą į tris dalis. Kiek buvo padaryta pjūvių?
*
Uždavinys apie strypelį (lazdelę), supjaustytą į tris dalis. ją galėjo supjaustyti Jonas, Petras arba Antanas. Kokia tikimybė, kad ją supjaustė Jonas?

patiko(0)



Statybininkas, Lapkričio 6 14:00  #

Sveiki, norėjau paklausti, ar daug buvo Studentų kurie rašė palinkėjimus?

patiko(0)



Marius A., Lapkričio 6 16:07  #

> O gal Jūs ir esate (buvote) vienas iš jų? :-)
Ne, nesu ir nebuvau Jūsų studentas.
Studijų metais matematikos mokiausi pas a.a. Veterį. Sunkiai sekėsi, beje, teko ir skolų turėti…

Pakomentuokit, prašau, septintą uždavinį. Jo sąlyga yra itin keista…

Taip pat būtų įdomu pamatyti studentų pasirinkimo pasiskirstymą – kiek studentų rinkosi kiekvieną iš uždavinių ir kiek iš tų pasirinkusių jį išsprendė…

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 6 17:10  #

Statybininkui: o, kaip gražiai Jūs rašote „Studentų“!
Linkėjimų parašė gal 7-8, ačiū jiems!

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 6 17:16  #

Mariui A.: 1) uždavinys apie strypelį yra toks: kokia tikimybė, kad, dviejose atsitiktinėse vietose perpjovus strypelį, iš dalių bus galima sudaryti trikampį?
*
2) Didžiausias egzamino paradoksas – mažiausiai rinkosi klasikines 5 ir 6 užduotis!
Daugiausia išsprendusių 4 uždavinį.
Niekas taip gražiai kaip Marius A. neišsprendė antrojo ir trečiojo uždavinio – keli išsprendė trečiąjį.
Smulkiau negaliu komentuoti, nėra laiko nagrinėjimui…

patiko(0)



That's amazing, Lapkričio 6 17:27  #

Gal atskleistumėt kaip 4ąjį uždavinį reiktų spręsti? Ačiū

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 6 17:57  #

That’s: paprasčiausias būdas – surašyti visus 64 variantus (4*4*4) ir pirštuku suskaičiuoti 24 tinkamus antrajam klausimui variantus.
Galima ir taip: pirmasis balandis gali pasirinkti bet kurį narvelį, antrajam lieka trys iš keturių, trečiajam – du iš keturių: P(A) = 3/4*2/4 = 3/8. Paprasta kaip du centai!

patiko(0)



That's amazing, Lapkričio 6 18:26  #

paprasta, bet ginčai neretai verčia suabejot savo teisumu, tad kodėl jo nepatikrinus?

patiko(0)



Ignas, Lapkričio 7 13:28  #

Mariau, gražu!

Bet man asmeniškai kiek elegantiškesnis trečiojo uždavinio įrodymas būtų besiremiantis tuo, jog kiekvienas natūralusis skaičius vieninteliu būdu (elementų perstatymo neįskaitant) išreiškiamas pirminių skaičių sandauga, tada telieka suprasti, kad kėlimas kvadratu tik „padvigubina“ tų pirminių skaičių kiekį. Jei turėjom bent vieną dvejetą tarp pirminių (t.y. lyginį skaičių), jo kvadratas turės du kart tiek, t.y. tikrai bus lyginis. Jei neturėjom – keliant kvadratu jis ir neatsiras.

patiko(0)



agni, Lapkričio 7 15:51  #

Spėčiau uždavinys apie lazdelę buvo spręstas semestro metu? nes sugalvoti jo sprendimą sakyčiau visai sunkus uždavinys…

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 7 19:28  #

agni: uždavinys apie lazdelę išspręstas dėstytojo niekam tikusioje knygoje… :-)

patiko(0)



nuoba, Lapkričio 7 19:59  #

Manau, kad to strypelio supjaustymo tikimybė 1/2.

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 7 20:13  #

nuobai: ne, 1/4.

patiko(0)



nuoba, Lapkričio 7 20:43  #

Pirma mintis irgi tokia buvo. Bet po to pradėjau abejoti. Pirmas pjūvis tai nieko nelems – tikimybė 1. Viską lems antras pjūvis. Jei nugriebsim ilgesnį galą – tai pasisekė, jei trumpesnį – nepasisekė. Gautusi lyg ir 1/2?

patiko(0)



agni, Lapkričio 7 22:55  #

Pabandyk nusipiešti strypelį, pažymėti pjūvį ir pagalvoti, kur gali būti kitas pjūvis. O tada pakeitinėk pirmo taško vietą, pamatysi, kad nuo jos irgi nemažai priklauso :)

patiko(0)



nuoba, Lapkričio 8 07:57  #

Klaida aiški – ilgesnę dalį irgi nebūtinai iš pirmo karto perpjausi tinkamai.
Klausimas Burgiui: kokią galvos tūrio dalį užima žioplumas, jeigu jos savininkas į du (iš dviejų) klausimus atsako neteisingai?

patiko(0)



ST, Lapkričio 8 08:16  #

Ar rezultatas (102:17) yra kuo nors išskirtinis, lyginant su ankstesniais metais?

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 8 09:34  #

ST: ne, rezultatas tipinis… Nieko naujo po saule.
nuobai: taip, mane glumina net negebėjimas pasirinkti…

patiko(0)



nuoba, Lapkričio 8 20:51  #

Patikslinu, kad kas atsitiktinai neužsigautų: mano klausimas lietė mane patį.

patiko(0)



Manfredas, Lapkričio 9 02:53  #


8. http://i.imgur.com/qvzU4.jpg :-)

patiko(0)



Gediminas, Lapkričio 9 12:06  #

Būtų įdomu, kad p. Burgis pakomentuotų Manfredo uždavinį esantį virš manęs. Jau nepirmą kart matau šį uždavinį. Įdomu….

patiko(0)



Burgis, Lapkričio 9 13:04  #

Gediminui: tai toks pat pokštas, kaip klausimas: „Ką pasakė senovės graikas, kuris sušuko „aš – melagis!“, – tiesą ar netiesą?“

patiko(0)



Ignas, Lapkričio 9 22:04  #

Galėjo laisvai pasakyti tiesą. Jeigu žmogus – melagis, dar nereiškia, kad meluoja sakydamas kiekvieną teiginį.

patiko(0)



XHTML

Leistinos XHTML žymos:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>