Kokia tikimybė, kad aštuoni žmonės per Velykas susės už apskrito stalo taip, jog tavo kaimynė bus gražiausia?
Atsakymai
Marius, 2008-03-18 23:23:03
mano kaimynė visąlaik gražiausia 😀
Žydrūnas, 2008-03-19 01:09:16
Marius teisus!
Rimas, 2008-03-19 02:53:24
Veikiant Merfio dėsniams – nulinė =))
o šiaip tai yzi – 2/7
Marius, 2008-03-19 11:20:42
nulinė, nes sąlygoje pasakyta, kad susės žmonės 🙂
Burgis, 2008-03-19 11:29:19
Nu, dar vienas uždavinys: kompiuteris vienodai tikėtinai generuoja natūraliuosius skaičius iš intervalo [1;7]. Kokia tikimybė, kad bus sugeneruoti du nelyginiai skaičiai iš eilės?
Marius, 2008-03-19 11:47:52
6/21?
bet kažkaip mažokai
Marius, 2008-03-19 11:48:16
ai dar prastint eina – 2/7
Burgis, 2008-03-19 11:50:23
Mariui: sprendimo reikia, sprendimo…
Marius, 2008-03-19 16:06:54
be sprendimo nebūtų atsakymo:)
scania, 2008-03-19 17:11:04
2/3
DMT, 2008-03-19 17:19:26
nepasakyta ar kartotis gali tie sk. manau P(A)=(4*4*3*3*3*3*3)/(7*7*7*7*7*7*7)
math, 2008-03-19 19:45:28
1 uždavinuko sprendimas(rizikuoju):
P(A)=2!8!8/8!
DMT, 2008-03-19 20:25:01
is viso 8 zmonem susest uz apskrito stalo yra (n-1)!, t.y. 7!, bet neaisku kiek moteru yra, atsakymas virsuje duotas: P(A)=(2!*6!)/7!=2/7, jeigu yra moteris
1, 2008-03-19 20:26:02
2!*7*1*6!/8!=0.25
1, 2008-03-19 20:29:53
2!*7*1*6!/8!=0.25
1- tinkamas atvejis, GRAZIAUSIA kaimyne
2- gali susikeist vietom su gr. kaimyne
7- skirtingi budai uzimti tau vieta (+1 kaimynei palikt reikia)
6- kitiem likusios vietos
8- viso skirtingu susedimo budu
math, 2008-03-19 21:06:40
taip -mano klaidos- dekui.
Burgis, 2008-03-19 22:13:45
Puiku, jau sprendžia žmonės! Ar teisingai? Kitais būdais? Jūsų uždaviniai?
Viktoras, 2008-03-20 01:41:48
tas pats aukščiau minėtas skaičių generatorius:
a) kiek vidutiniškai kartų reikėtų generuoti skaičius, jog gautume du septynetus iš eilės?
b) kokį vidutiniškai skaičių gautume jei generuotume du skaičius ir paimtume didesnį iš jų?
Marijonas, 2008-03-20 16:39:10
Dėl skaičių generatoriaus: tikimybė, kad du iš eilės einantys skaičiai bus nelyginiai lygi 16/49?
math, 2008-03-20 17:01:46
Marijonai, Pagal Bernulio formullę apibrėžei, jog elementarių įvykių W1 (nelyginis)ir W2 (nelyginis)būų nepriklausomi:
P(W)=P(w1,w2)=4/7*4/7=16/49 (Ar neperdaug paprasta?? – tai galima rašyti tik vieno statistinio eksperimento matematiniame modelyje atvejui)
Manfredas, 2008-03-20 17:52:29
Metame monetą dvidešimt kartų. Kokia tikimybė, kad bent keturis kartus iš eilės iškrito herbas?
Burgis, 2008-03-20 18:02:02
O, Londono banko specialistas Viktoras mus aplankė! Na, studentai, neapsijuokite…
Manfredui: aišku, geriau skaičiuoti taip: 1- tikimybė, kad mažiau kaip keturis kartus… Įdomiau kitkas: ar naudosite Bernulio formulę, ar imsitės aproksimacijų?
math, 2008-03-21 10:58:39
Manfredai: adekvatus uždavinys(pakeitus n ir k,panaudojus tiek Bernulio, tiek Muavro-Laplaso teoremos formules )tavo minėtami uždaviniui, yra jau suformuluotas su sprendimu puslapyje:
http://fmf.ktu.lt/vilkas/TikimybiuTeorija/kontrolinio_pavyzdys1.doc
pst.: jei čia tik studentai sprendžia, aš jau nesikišiu, maniau, kad visiems čia lengva mankšta kaip kokie kryžiadžodžiai, ar tiesiog būdas atgaminti akademines žinias..
audrius, 2008-03-21 12:51:36
1 uzdaviny pasakyta kad suses zmones, bet nepasakyta kiek vyru ir moteru. tai gal tavo kaimynes isvis nebus salia?
math, 2008-03-21 14:44:58
Audriau, tas tiesa, šioks toks matematinis nekorektiškumas – galbūt autoriui reikėtų papildyti sąlygą, jog moterų ne mažiau nei viena, bet, turint mintyj, jog švenčiamos Velykos, pagal nutylėjimą tai – tipiška standartinė lietuvių šeima, ir galbūt net kelios kartos, manyčiau, Moteris YRA 🙂
1, 2008-03-21 20:29:32
math galvok logiskai! busim as ir tu, graziausias busiu as, ty 1 vnt; busim tryse – as, math ir audrius- graziausias bus audrius, ty vel 1 vnt
math, 2008-03-21 20:36:32
1 🙂
O ar nereiktų vertinti užduoties semiotiškai?:) – juk sąlygoje parašyta” kaimynė”, vadinasi, niekur nedingsi – “ieškok moters”:)
Burgis, 2008-03-21 22:04:20
Visada ieškok moters!
“Meilės lauk visada,
bet labiausiai – pavasarį…”
B.B.
Remigijus, 2008-03-21 22:24:28
Kodel labiausiai pavasari?? 🙂 Meiles manau yra laukiama visada:)
Burgis, 2008-03-21 22:55:20
Yra tokia rusiška daina: “… Vidno v avguste sbytsia nemožet / čto sbyvaetsia ranej vesnoj…” (Matyt, rugpjūtį įvykti negali, kas pavasasį vyksta anksti…). Klausyk gamtos balso.
Laurynas, 2008-03-22 02:00:51
Sprendimas uzdaviniui su naturaliu skaiciu generatoriumi. Tarkime p_n yra tikimybe kad tarp pirmu n skaiciu yra du is eiles einantys nelyginiai. Tada sis skaiciu tenkina toki rekurentini sarysi: p_n=3/7*p_{n-1}+4/7*(3/7*p_{n-2}+4/7). Bendras tokios lygties sprendinys yra pavidalo p_n=x^n+y. Issprende charakteristine lygti gauname, kad y=1 ir x=(3+-Sqrt[57])/14. Taigi p_n=A*((3+Sqrt[57])/14)^n +B*((3-Sqrt[57])/14)^n+1, kur A,B konstantos. Taip pat zinome, kad p_0=p_1=0. Istate sias reiksmes gauname A=-1/2-11/(2*Sqrt[57]) ir B=-1/2+11/(2*Sqrt[57]). Taigi p_n=(-1/2-11/(2*Sqrt[57]))((3+Sqrt[57])/14)^n +(-1/2+11/(2*Sqrt[57]))((3-Sqrt[57])/14)^n +1. Kaip supratau is salygos generuojama be galo daug skaiciu, taigi kai n arteja i begalibe, p_n arteja i 1.
Laurynas, 2008-03-22 02:11:33
Sprendimas Viktoro a) uzdaviniui. Tarkime a_n yra vidutinis skaiciu kiekis, reikalingas sugeneruoti, kol pirma karta gaunami n septynetai is eiles. Tuomet a_n tenkina toki rekurentini sarysi: a_n=a_{n-1}+1+0*1/7+(1-6/7)*a_{n}. Pertvarkius gauname: a_n=7*(a_{n-1}+1). Taigi a_n=A*7^n+B, kur A,B konstantos. Taip pat zinome, a_0=0, todel gauname A=7/6, B=-7/6, ir a_n=7/6*(7^n-1).
Siuo konkreciu atveju mums reikalinga reiksme a_2=56.
Burgis, 2008-03-22 11:04:02
Ačiū, Laurynai! Mano studentams pravartu žinoti, kad Lauryno el.p. adresas baigiasi fraze: @cam.ac.uk. Neblogai, tiesa?
svecias, 2008-03-22 16:40:09
O e-pasto pradzia prasideda kartais ne l.miksys?
Burgis, 2008-03-22 16:56:20
Svečiui: deja, tai mano svečių konfidencialumo sritis. Bet kas galėtų paneigti, kad tai ne Laurynas Mikšys iš Kembridžo universiteto?
Remigijus, 2008-03-22 17:33:44
Dėstytojau, norėjau paklausti, kaip reikia skaiciuoti jei salygoje yra paminėta, kad bent viena? Tarkim bent viena karta atvirto skaičius 2? Pagal klasikinės tikimybės apibrėžimą
Laurynas, 2008-03-22 18:27:37
Sprendimas Viktoro b) uzdaviniui. Tarkime generuojame skaicius nuo 1 iki n. Tuomet tikimybe p_k, kad maksimalus poros skaicius bus k, kur k yra nuo 1 iki n, yra p_k=1/n*((k-1)/n+(k-1)/n+1/n)=(2k-1)/n^2. Tada didesniuju skaiciu vidurkis yra lygus \sum k*p_k, sumuojant pagal k, nuo 1 iki n. Taigi \sum k(2k-1)/n^2 = (n+1)(4n-1)/6n.
Kai n=7, gauname vidurki 36/7.
Arturas, 2008-03-22 18:38:16
Pažvelgęs į Lauryno skaičiavimą, pamaniau, nejaugi Dėstytojas duotų tokį sunkų uždavinį ruošiantis egzaminui, aš manau, kad šitoj užduotyje svarbiausia yra ne tai kelių ženklų skaičius kompiuteris generuoja, o tai kas “atsistos” į paskutinę poziciją skaičiuje, manau atsakymas turėtų būti 4/7*4/7
Arturas, 2008-03-22 19:53:12
Kaip reiketu išspręsti šį uždavinį: Kokia tikimybė, kad dviejų atsitiktinai iš intervalo [0;1] pasirinktų realiųjų skaičių suma neviršys vieneto, o sandauga bus mažesnė už 2/9
Burgis, 2008-03-22 20:26:04
Artūrui: tai klasika – geometrinė tikimybė. Nubrėžkite dvi linijas, raskite plotų santykį…
Arturas, 2008-03-22 23:22:18
na tiek man aišku tik labai ta sandauga glumina, niekur neradau panašaus pavyzdžio…be to kai pažiūri į atsakymą iš viso pasidaro nebeaišku, dešimtainis logaritmas…
Burgis, 2008-03-23 11:55:08
Artūrui: xy kreivė yra hiperbolė, integruodami gauname logaritmą…
Santa, 2008-03-24 23:37:46
pasiulykit kokiu puslapiu kur yra uzdaviniu statistikos ir kombinatorikos, be atsakymu isskirus sita http://fmf.ktu.lt/vilkas/TikimybiuTeorija
math, 2008-03-25 00:12:01
Santa: nemanai, kad knyga(iš bibliotekos ar knygyno) būtų gerokai naudingesnė ir padėtų išsamiau suvokti kursą?-pvz. Algimantas Aksomaitis” Tikimybių teorija ir statistika” (labai paprastai ir aiškiai parašyta)
Santa, 2008-03-25 07:18:34
namie knygos neturiu, man reikia cia ir dabar ir reikia man tik uzdavyniu
Burgis, 2008-03-25 09:04:15
Santai: ieškoti – smagu! Užsakykite: college math probability examples…
Laurynas, 2008-03-25 20:34:25
Į lėktuvą iš eilės laipinama 100 keleivių. Pirmasis keleivis pametęs savo įlaipinimo kortelę nežino tikslios savo sėdėjimo vietos, todėl sėdasi į bet kurią laisvą vietą lėktuve. Likę keleiviai laipinami iš eilės ir žino savo sėdėjimo vietas. Jei atėjęs keleivis randa užimtą savo vietą, jis sėda į bet kurią laisvą vietą lėktuve, jei vieta laisva jis į ją ir atsisėda. Taip į lėktuvą susodinami visi keleiviai. Kokia tikimybė, kad paskutinysis keleivis atsisės į jam paskirtą vietą?
A.B., 2008-03-25 20:40:53
Sakyčiau atėjęs keleivis radęs savo vietoje kitą tiesiog paprašys tą žmogelį persėst kitur ir galų gale kai visi, kurie žino savo sėdėjimo vietų numerius susės, liks viena tuščia vieta, kuri priklauso pametusiąjam kortelę:) tas sakyčiau galų gale visi sėdės ten kur jiems ir priklauso:)))
Burgis, 2008-03-25 21:07:51
Laurynai, nežudyk mano studentų!
As, 2008-03-26 18:49:18
Destytojau, ar galima spresti namu darbus is webct uzdaviniu, ten yra atsakymai bet nera sprendimu ?
Burgis, 2008-03-26 19:37:37
As: galima, galima, tik ne visi vis tuos pačius…
Viktoras, 2008-03-26 21:13:36
Laurynai, be abejo teisingi atsakymai, labai įdomu, gal gal galėtum plačiau paaiškinti a) uždavinyje, kaip gauni tą pradinį rekurentinį sąryšį ir jį suprastini iki a_n=7*(a_{n-1}+1)?
(aš šio tipo uždavinius dažniausiai sprendžiu pasitelkdamas generuojančias eilutes, gaunasi truputį ‘ūkiškesni’ tačiau ilgesni sprendimai).
Remigijus, 2008-03-26 22:21:21
Destytojau, o is kur dar galima imti uzdavinius? Kur dar ju rasti isskyrus webct.liedm.lt ?
Laurynas, 2008-03-26 22:23:51
Et, įvėliau žioplą klaidą. Neapsisprendžiau kaip geriau parašyti ar (1-1/7) ar 6/7 tai ir parašiau (1-6/7) 🙂 Po to jau suprastinus lyg ir gerai viską skaičiavau.
Na, o pats sąryšis gautas taip: Norint sugeneruoti n iš eilės einančius septynetus, pradžioje turi būti sugeneruoti n-1 septynetai, ir tam vidutiniškai reikia a_{n-1} skaičių. Tuomet, sugeneravus papildomą skaičių, jis su tikimybe 1/7 bus septynetas, todėl daugiau skaičių generuoti nebereikės, arba su tikimybe 6/7 tas skaičius bus ne septynetas, todėl vidutiniškai reikės generuoti a_n skaičius. Taip ir gauname sąryšį a_n=a_{n-1}+1+1/7*0+6/7a_n.
O kaip šį uždavinį būtų galima išspręsti su generuojančiomis funkcijomis? b) daliai nesunku apskaičiuoti koeficientus, bet šiam uždaviniui nesugalvoju kaip paprastai būtų galima pritaikyti generuojančias funkcijas.
Burgis, 2008-03-26 22:27:51
Remigijui: gal “Maximoj” yra uždavinių? Aš ten neieškojau, dažniausiai ieškau knygose, o knygų – skaityklose…
Viktoras, 2008-03-27 00:11:27
Oh, turėjau galvoj a) tipo uždavinius spręst generuojančių f-jų pagalba. Paprastumo dėlei spręskim analogišką uždavinį: kiek vidutiniškai kartų reikia mesti monetą, kad herbas iškristų du kart iš eilės. Galima daryti taip:
<br /> Kadangi reikia suskaičiuoti vidurkį, ieškome su kokiom tikimybėm p_n gauname n metimų seką besibaigiančią 'HH'. Tuomet ieškomas vidurkis yra \sum n*p_n.<br /> Pirmi nariai akivaizdūs: p_0 = p_1 = 0, p_2=1/4, p_3=1/8, p_4=1/8, ir t.t. Matom rekursinį sąryšį:<br /> p_{n+1}=p_n/2+p_{n-1}/4.<br /> Pažymim P_n(x)=\sum p_n*x^n (tai ir bus mūsų generuojanti f-ja). Dauginam sąryšio abi puses iš x^n, sutvarkom ir gaunam P_n(x) išraišką (galim pasitikrinti ar P_n(1) = 1, tikimybės turėtų sumuotis į 1).<br /> Mūsų ieškomas vidurkis yra ne kas kita kaip P_n(x) išvestinė pagal x taške 1.<br />
Ant popieriaus visa tai atrodo taip: http://img141.imageshack.us/my.php?image=dscn1807yn5.jpg
Na, atrodo per paprastas uždavinys, kad tiek vargt su generuojančiom eilutėm. Sudėtingesnis ir įdomesnis uždavinys: turim N domino kauliukų, juos reikia sudėti į vieną eilę, kauliukas griūva į kairę su tikimybe p_k, į dešinę p_d, jei nugriūna tai nugriauna ir šalimais stovinčius (juos reikia perstatyti), kiek vidutiniškai kartų reikės statyti kauliukus, kad gauti visą eilę, jei statysime naudodami optimalią strategiją. (neesu tikras, ar egzistuoja ‘closed-form’ sprendimas, tad čia galbūt labiau programavimo, negu matematikos uždavinys…)
Laurynas, 2008-03-27 13:17:04
Nelabai įsivaizduoju kokia galėtų būti optimali kauliukų statymo strategija, tad paprasčiausiai statysiu juos iš kairės į dešinę. Kad būtų patogiau rašyti, pervadinsiu griūvimo tikimybes: į dešinę virsta su tikimybe p, į kairę su tikimybe q.Tarkime a_n yra vidutinis skaičius kartų, reikalingas pastatyti n kauliukų į eilę. Šis dydis tenkina tokį rekurentinį sąryšį:
a_n=a_{n-1}+(1-p-q)*0+q*a_n+ p*((1-p-q)*0+q*a_n+p*(…))
=a_{n-1}+q*a_n*(1+p+p^2+…)
=a_{n-1}+a_n*q/(1-p)
arba a_n = (1-p)/(1-p-q)*a_{n-1}=((1-p)/(1-p-q))^(n-1)*a_1
Na, o a_1= 1*(1-p-q)+2*(1-p-q)(p+q)+3*(1-p-q)(p+q)^2+…
=(1-p-q)(1+2(p+q)+3(p+q)^2+…)
=(1-p-q)(1/(1-p-q))^2=1/(1-p-q)
Taigi, norint pastatyti N kauliukų į vieną eilę, vidutiniškai kauliukus reikėtų statyti a_N kartų, kur a_N=(1-p)^(N-1)/(1-p-q)^N.
As, 2008-03-27 19:23:55
anekdota perskaiciau: Sakykime, yra n tankų. Nors, ne, n per mažai, tegul bus x. 🙂
Viktoras, 2008-03-27 23:19:46
Aha, ar pačioje pirmoje sumoje nereikia pridėti 1 (kuris simbolizuotų paskutinįjį padėtą kauliuką)?
Su optimalia strategija reikalas tas, kad jei q » p tai tikrai a_n statant iš kairės į dešinę bus didesnis negu pasirinkus strategiją statyti iš dešinės į kairę. Bendrai paėmus norint pastatyti n kauliukų reikia statyti l iš kairės, r iš dešinės ir abi grupes sujungti padedant paskutinįjį į vidurį. Tuomet a_n turėtų tenkint šį sąryšį:
a_n=a_l+a_r+1+p*S_1+q*S_2
čia S_1 ir S_2 simbolizuoja kiek vidutiniškai kartų reikia statyti, kad atstatyti jei vidurinis griūna į kairę ar dešinę.
S_1=a_l+1+q*S_1+p*S_2 ir analogiškai
S_2=a_r+1+q*S_1+p*S_2
visą tai suprastinus gaunas:
a_n=a_l+a_r+1+(q*(a_l+1)+p*(a_r+1))/(1-p-q)
Atrodo skaičiuojant a_n reiktų perrinkti visus l, r tokius, kad l+r+1=n ir imti mažiausią gautą a_n (turėtume dinaminio programavimo sprendimą). Galbūt įmanoma analitiškai rasti l ir r reikšmes su kuriom a_n mažiausias (turbūt jos tiesiog proporcingos 1/q ir 1/p ar pan.). Taip pat nelabai aišku gal įmanoma rasti a_n ‘closed-form’ sprendimą.
Laurynas, 2008-03-28 00:35:54
Na, aš “kiek kartų reikės statyti” interpretavau kiek kitaip, tai gavos, kad išsprendžiau kitokį uždavinį nei sąlygoje. Aš kauliukų statymą traktavau, kaip pradėjimą nuo nulio, t.y. pradėdant kai nėra pastatytas nei vienas kauliukas. Todėl nėra ir to +1, nes jei kauliukas, lieka stovėti arba nugriūna nekliudydamas kitų kauliukų, tai nesiskaito kaip naujas statymas. Todėl ir kiekvieną kartą tikimybę, kad kauliukas liks stovėti 1-p-q dauginau iš 0.
Marius, 2008-03-28 12:54:39
As: Geras anekdotas! :DDD
prisiklykiau, dėkui.
Viktoras, 2008-03-30 20:55:42
Aha tada tikrai +1 nėra.
Tikėkimės pasiruošė studentai egzaminui.
R.V., 2009-04-17 00:12:06
Tinklapis
dėl serverio tvarkymo kokius 3 mėnesius neveikė, bet dabar jis visam laikui perkeltas čia
http://193.219.157.231/Vilkas/
(ir pagaliau veikia “redirect 301” iš senojo adreso)
Atsiprašau už visus nepatogumus.