Neiškenčiau ir išsprendžiau… Per paskaitą vienas studentas pasiūlė tokį uždavinį:
*
Tūkstantis žmonių metė monetą po dešimt kartų. Kokia tikimybė, kad bent vienam iš jų herbas atsivertė dešimt kartų?
*
Tai tikimybių teorijos pradžiamokslis, bet lentoje užrašiau sprendimą ir… susipainiojau! Laimė, kitas studentas bematant pamatė klaidą. Tada užrašiau teisingo sprendimo schemą, bet man pasidarė smalsu, koks gi atsakymas? Auditorijos jokios technikos nenaudoju, o ir laiko gaišti nenoriu, tai dabar išsprendžiau iki galo. Pažiūrėkite, visai įdomus sprendimas ir lauktas (tikėtinas) atsakymas…
*
Žinoma, man padeda mano „ekseliukas“…
P(A) = 1 – (neA) = 1 – (1 – 1/1024)*(1 – 1/1024) * … (tūkstantį kartų) * (1 – 1/1024).
Skliausteliuose esantys daugikliai (reiškiantys tikimybę, kad tam žmogui herbas 10 kartų neatsivers…) yra lygūs 0,999023438. Pabandžiau priversti „Excel“ šį skaičių pakelti tūkstantuoju laipsniu. Atsisakė… Tada atlikau manevrą logaritmu:
1000*ln(0,999023438)=ln(u);
ln(u)= – 0,977039648;
u=0,376423798;
P(A)=0,623576202.
***
Žinoma, ta tikimybė gana didelė! Juk tūkstantis žmonių monetą (monetas) mėtė…
***
Rytoj čia paskelbsiu dar vieną studento pateiktą uždavinį. Tas studentas yra gavęs po 100 iš matematikos ir informatikos VBE, iš jo tikrai daug galima išmokti…
Atsakymai
Burgis, 2013-02-25 19:17:54
Įvertinkite…
Jonas Kiselis, 2013-02-25 19:43:58
Keista, man irgi įvedus į skaičiuoklę 1 – (1 – (2^10))^1000 rašo, kad klaida. Nors atskirai paėmus 1000-uoju laipsniu skaičių gali pakelti.
Jonas Kiselis, 2013-02-25 21:53:10
Pastebėjau, kad kai ką praleidau, įvesdamas sprendimą… Turėjo būti:
1 – (1 – ((1/(2^10)))^1000.
O kaži koks sprendimas būtų jeigu sąlygą padarytume dar sudėtingesnę. Sakykime, kokia tikimybė, kad iš tūkstančio žmonių ne mažiau kaip vienam ir ne daugiau kaip dešimčiai iškris herbai 10 kartų iš eilės.
Burgis, 2013-02-25 22:32:00
Jonui Kiseliui: sprendžiant Jūsų uždavinį tik truputėlį padaugėtų darbo, bet nieko naujo žinoti nereikia…
s, 2013-02-25 22:42:26
Tikimybė, kad iškris vienam:
((C^1)_1000) * (1 / 1024) * (1023/1024)^999
Dviem:
((C^2)_1000) * (1 / 1024)^2 * (1023 / 1024)^998
Nuo vieno iki 10 gaunasi kažkur:
0.62357619438983891 (Jei aritmetika neapleido…)
Tuo tarpu originalio uždavinio atsakymas:
0.62357620194327712
Jis šiek tiek didesnis.
petras, 2013-02-26 09:16:13
O gal galėtumėt man kas nors paaiškinti, jei nesunku. tai ką vis dėl to reiškia šita apskaičiuota tikimybė 0,62357…..
ar tai reiškia, kad jei šitą bandymą atliksim 10 kartų, tai 6 iš jų bus tikrai sėkmingi ?:) gal kokie mokslininkai yra išbandę ir suskaičiavę, kiek reiktų atlikti bandymų, jog tikimybė būtų įgyvendinta praktiškai ?
Burgis, 2013-02-26 10:26:11
Ne, Petrai, ne taip… Tikimybė reiškia tiksliai tai, ko klausiama sąlygoje.
Jonas Kiselis, 2013-02-26 10:55:52
Atsakymas rodo tikimybę, kad ne mažiau kaip vienas žmogus iš tūkstančio bus išmetęs 10 herbų. Arba jeigu iš 1 atimsime gautą atsakymą, tas skaičius parodys, kokia tikimybė, kad nė vienam iš tūkstančio nepavyks išmesti 10 herbų per 10 metimų.
Kirke, 2013-02-26 11:35:17
P. Burgi, o Jūs dar kartą nenorėtumėte peržiūrėti petro klausimo? Nes man atrodo, atsakėte neįsigilinęs. Jei vadovautis Jūsų atsakymu, tai būtų: “sąlygoje klausia tikimybės, tai ji ir yra (tik) tikimybė kad įvyks taip, kaip nurodyta sąlygoje, ir ji yra lygi 0,62357…”.
Burgis, 2013-02-26 11:40:37
Kirke: netiesa, aš įsigilinau ir atsakiau tiksliai! Ir tai, ką Jūs parašėte kabutėse yra būtent tas atsakymas. O Petro klausimą „gal kokie mokslininkai yra išbandę ir suskaičiavę, kiek reiktų atlikti bandymų, jog tikimybė būtų įgyvendinta praktiškai ?“ reikėtų patikslinti ir atsakymas į jį yra dvi paskaitos antro kurso studentams…
petras, 2013-02-26 11:43:53
tai realiai jinai nieko nereiškia 😀 čia kaip vienas draugas juokauja, kad tikimybė visada 0,5. nes arba įvykis įvyks arba ne. išmes kapeiką arba neišmes. o jei rimtai, man matematika visada patikdavo, bet o tačiau tikimybės kažkaip nelabai. nes niekaip negaliu perprast jų prasmės, ryšio su realybe. kažkoks man neapčiuopiamas dalykas.
Jonas Kiselis, 2013-02-26 18:59:36
Kuo mažiau informacijos turi apie reiškinį, tuo labiau tikimybė artėja prie 0,5. Filosofiškai pažiūrėjus, tai tikimybės kyla iš mūsų žinojimo ribotumo. Jeigu viską absoliučiai detaliai žinotume apie kažkokį reiškinį, tada tikimybė būtų arba 0, arba 1. Jeigu nieko nežinai, tada lieka du variantai: arba/arba ir iš mūsų požiūrio taško abu vienodai tikėtini.
Net jeigu kalbame apie lygiai tą patį reiškinį, skirtingais atvejais turint apie jį daugiau arba mažiau informacijos, galime gauti ir skirtingas tikimybes. Pvz, jeigu tik žinome, kad krepšininko baudų pataikymas siekia 70%, mūsų atveju pataikyto metimo tikimybė bus 0,7. Tačiau jeigu dar taip pat žinome, kad tai yra rungtynių pabaiga, metimas lemiamas, žaidėjai pavargę, turbūt tokiu atveju tikimybę bent jau intuityviai sumažinsime ir ji bus mažesnė nei 0,7.
Taip pat yra su tikimybėmis, kad koks nors asteroidas atsitrenks į Žemę. Kol iki menamo susidūrimo daug laiko, paskaičiavimų paklaida yra didelė, mūsų turima informacija netiksli. Vėliau, praėjus daugiau laiko, asteroido skriejimo orbita gali būti kažkiek patikslinta, kuri pakeis ir mūsų susidūrimo su Žeme tikimybę. Visgi nepaisant mūsų riboto žinojimo, asteroido skriejimo trajektorija jau iš anksto yra nulemta fizikos dėsnių (kūno masės, kinetinės, potencinės energijos ir t.t.), ir turint visiškai pilną informaciją apie jį galima būtų nustatyti tiksliai, ar asteroidas susidurs su Žeme, ar ne. Kitaip sakant nustatyti, kad įvykio tikimybė lygi arba 1, arba 0.
Taigi manau, kad turint gryną dievišką protą, ir visas Visatos žinias, visos tikimybės yra arba 1, arba 0. Ribotų mąstymo, suvokimo ir žinojimo atvejais, tikimybės reikšmė gali būti nuo 0 iki 1. Neturint absoliučiai jokių žinių apie reiškinį – 0,5.
Vladas, 2013-02-26 23:59:50
Apie 0,5 tikimybę:
Jei paklausi vyro, kokia tikimybė rytoj Laisvės alėjoje sutikti dinozaurą, tai pasakys, kad 0,00001 (ar panašiai). Jei paklausite blondinės to paties, ji atsakys paprastai – 0,5. Arba sutikasi arba ne:))
Jonas Kiselis, 2013-02-27 00:21:35
Vladai:
Visgi pasakydamas, kad tikimybė 0,00001, jau remtumeisi informacija, kurią turi: kad dinozaurai šiais laikais negyvena.
O kokią duotum tikimybę, kad rytoj įvyks įvykis, apie kurį ką tik pagalvojau, bet apie jį nieko nesakysiu?
Galbūt tai yra, kad vyksta kiekvieną dieną, o gal tai, ko niekada nebūna?