Loterijų tragedija

Laba diena,

esu buvęs jūsų studentas. Man iškilo šiokių tokių abejonių dėl tikimybių teorijos, tai galvoju kur galima daugiau kreiptis jei ne pas patį dėstytoją.

*

O nutiko viskas taip, susigundęs “lengvu ir garantuotu” laimėjimu, ieškojau kur būtu galima sėkmingai papildyti kišę. Suradau loteriją http://balllotto.com/ pagal kurios iškritusius kamuoliukus vietinėje lažybų bendrovėje galima atlikti statymus. Mane iškarto sudomino statymas “ar pirmas kamuoliukas bus didesnis už paskutinį”. Galimos baigtys yra tik dvi, todėl kiekvieno atvejis turi 50% tikimybę, todėl ir siūlomas koeficientas 1.9 pasirodė pakankamai sąžiningas – juk ir lažybų bendrovė nėra labdaros organizacija, ji taip pat turi kažką uždirbti.

*

Nusprendžiau prieš statydamas “atlikti namų darbus” – pasiskaičiuoti tikimybę laimėti, galimų nesėkmių tikimybę, statymo sumą ir ir t.t.

*

Šioje loterijoje iš 36 kamuoliukų yra atsitiktine (bent jau aš norėčiau tuo tikėti) tvarka yra išridenami 6 kamuoliukai, iš kurių man svarbūs yra tik pirmas ir paskutinis. Paskaičiavau, kad tikimybė jog pirmą kartą neiškris pasirinktas kamuoliukas yra 50%, 2 kartą 25%, 3 – 12.5%, 4 – 6.25%, 5 – 3.125%, 6 – 1.5625%, 7 – 0.78125%, 8 – 0.390625% ir t.t. Pasidariau exel failiuke skaičiavimus, kiek turėčiau statyti pralaimėjus 1,2,3, …. kartą, sukėliau duomenis apie tikimybę pralaimėti ir laimėjimo dalį į grafiką iš kurio suradau “optimaliausią” mano nuomonę laimėjimo / pinigų investavimo santykį kurį pavadinau “dagonas” (statymo dydis kartais lyginant su prieš tai statyta suma). Teoriškai viskas atrodė labai gražiai, ypač tikimybė jog neiškris pasirinkta tikimybė 8 kartus (o tai mano skaičiavimais atitiko beveik 4 kartus per 1000)…

*

Loterija lyg žaidimas akcijomis prieš krizę, lėtas kilimas aukštyn ir staigus nuopuolis.

*

Pritaikius savo paskaičiavimus iš pradžių sekėsi puikiai, kadangi kamuoliukai krenta kas 5 min. o nuo kiekvieno ridenimo likdavo nuo kelių iki keliolikos lt. Atrodė kad pinigai auga kaip ant mielių, iki tol kol po daugiau nei valandos “uždarbiavimo” teko pradėti statyti dideles pinigų sumas. Nepaisaint to kad mano pradinis statymas buvo vos 2 lt. (nepavykus laimėti pirmą kartą turėdavau statyti sekantį kartą daugiau, kad atsiloščiau ir išeičiau “su pelnu”) po 8 bandymų susidarė solidi suma, kurią ir palikau lažybų bendrovėje.

*

Po pralaimėjimo likau truputi sutrikęs ir visą vakarą mąsčiau apie šį įvykį.

*

Man galvoje vis dar knibžda mintis jog kažko neįvertinau.

Galimų iškristi variantų juk yra C 6 iš 36 (36*35*34*33*32*31).

Draugė užsiminė jog tikimybė esant daug įvykių tikimybė kelėta kartų iš eilės neatspėti pasirinkto varianto padidėja. Bet juk tikimybė nesikeičia ir išlieka 50% (imant kiekvieną traukimą atskirai). O gal klystu?

Galbūt matote mano padarytas klaidas? Į kokius kriterijus aš neatsižvelgiau?

*

O gal būt tai eilinė lažybų bendrovės apgaulė, siekiant apsisaugoti nuo tokių uždarbiautojų kaip aš? Tą karta aš stačiau už antrą pasirinkimą (statydavau tol kol laimėdavo, o po laimėjimo pasirinkdavau priešingą įvykį), visus savo įdėtus pinigus pralošiau po 8 nesėkmingo bandymo. Tačiau tą kartą man būtų pasisekę tik jei būčiau statęs 12 -tą kartą…

*

Pridedu jums exel failiuką, kuriame ir atlikau skaičiavimus.

*

Labai laukiu jūsų atsakymo, dar labiau kritikos ir pastebėjimų.

*********************

B. Burgis atsako:

  1. Nuostabu, žavinga, malonu, kad mano studentas bandė panaudoti tai, ko mokėsi universitete! Ypač nustebino ir sužavėjo, kad jis skaičiavimus atliko „Excel“ programa, procesą pavaizdavo grafiškai. 10 balų už tokį darbą!

  2. Šis šaunus studentas panašus į šimtus kitų, kurie nemoka nei pasakyti, nei parašyti to, ką norėtų ir ko reikėtų… Deja, deja, studijuoti iš šio „konspekto“ negaliu, lošimais nesidomiu, todėl ir patarti negaliu. Vienur kitur lyg ir matau akivaizdžių klaidų, bet kai neuprantu visumos – negaliu komentuoti. Bet gal jūs žinote, supratote, lošiate? Patarkite, išaiškinkite!

  3. Kiek kartų studentams sakau – neloškite! Bet kuri loterija, bet kuris lošimas pagrįstas akivaizdžia tiesa – laimi organizatoriai, o ne dalyviai. Taip, pagunda padidinama tuo, kad laimi ir vienas kitas dalyvis. Bet tik vienas kitas ir tik kai kada! Nejaugi neužtenka F.Dostojevskio „Lošėjo“?!

*

Neabejoju, kad dabartiniai mano studentai prisijungs prie diskusijos!

*********************

Papildymas.

Buvo paminėtas Sankt Peterburgo paradoksas. Įdedu iškarpėlę iš savo „Niekam tikusios matematikos mokymosi knygos“, nors ir nesu tikras, kad tie dalykai susiję.

*

I

KTU gimnazijos garbės lentoje „Pasaulio olimpiadų žvaigždės“ parašyta: Marius Alaburda; 1992, bronza, informatika, Vokietija; 1993, bronza, informatika, Argentina.

Dabar skaitykite Mariaus programą…

Atsakymai

Mindaugas, 2010-09-16 11:44:53

Jei neklystu, šitas metodas rusiškuose šaltiniuose yra vadinamas “Sankt Peterburgo paradoksu”, o angliškuose – “Martingale”. Šitą galima panaudoti ir kazino ruletėje, dvigubinant statymus už 50% tikimybę (pvz norimą spalvą). Jei įdomu, yra straipsnis Wikipedijoje.

Tačiau ne viskas taip paprasta. Kazino žino šitą triuką, ir turi atitinkamas apsaugas.

Edgaras, 2010-09-16 13:02:52

Mindaugas visiškai teisus.

Ar esant 50% tikimybei koeficientas 1.9 – patrauklu?

Jei laimėjimas garantuotas, jis visada ženkliai mažesnis už statymą/bilieto kainą.

Tam tikrais atvejais reikia suvokti, kad vieną semstrą pasimokius kažkurios srities pagrindų, ir pasikartojus namie, neverta bandyti būti gudresniam už patyrusių specialistų komandą, kurie sukūrė sitemą, mechanizmą.

Ernestas, 2010-09-16 13:23:40

Edgarai, lažybų bendrovėje toks koeficientas tikrai patrauklus.

Teigdamas cituoju: “Tam tikrais atvejais reikia suvokti, kad vieną semstrą pasimokius kažkurios srities pagrindų, ir pasikartojus namie, neverta bandyti būti gudresniam už patyrusių specialistų komandą, kurie sukūrė sitemą, mechanizmą.”

jūs tiesiogiai apribojate save mąstyti ir buti gudresniam nei tai komandai. Vien iš šio pasisakymo galiu drąsiai teigti jog 85% tikimybė yra jums gyvenime nieko nepasiekti, lenkti nugarą kitam darbdaviui ir gauti pakankamą bet nenorimą atlygį.

Juk visi pasiekimai ir atsirado tik dėka to, kad žmogus siekia buti geresnis, protingesnis, gudresnis už kitus.

Kaip galima kažko pasiekti jei visad tik slinksi su minia kitų žmonių ir nesistengsi atrasti to kas dar neatrasta? Su tokia logika mes iki šiol aikčiotume džiunglėse.

Čia kalba eina apie tikimybes. Nekalbama apie lažybų bendrovės sukčiavimą kas kelią labai didelį abejonių dėl jų sąžiningumo.

Darth Vader, 2010-09-16 14:23:20

Oi žmonės…aš ne matematikas, ekseliu tik modą ir medianą skaičiuoti moku – bet vieną faktą žinau: loterijoje vistiek išlošia savininkai. Perdaug pinigų? Paaukokite labdarai du litus. Nupirkite kruopų maišelį, įmeskite į “Maisto banko” aukų dėžę. SMS žinutę per labdaros akciją nusiųskite. Jei žaisite- vistiek pralošite.

petras, 2010-09-17 10:19:10

veideri, geriau nesiųsk smsų, o į rankas perduok žmonėm 🙂 nes nežinia kur tie pinigai nuaina paskiau.

D., 2010-09-17 12:01:09

Pagalvojau jog taip išeina kad ir draudikai yra sukčiai juk jie taip pat vadovaujasi tikimybių teorija :).

Teko virtualiame kazino iš virtualių pinigų pažaisti kaip minėjo Mindaugas. Sumos laimimos įspūdingos, bet iš tikrų pinigų nerizikuočiau 🙂

Mindaugas, 2010-09-17 12:21:11

D – esi dalinai teisus. Mums magistrantūroje prof. Mockus per optimizavimo paskaitas būtent taip ir pasakė apie draudimą. Aišku, draudimas dar užsiima visokiomis kitokiomis veiklomis (pvz investavimu), bet esmė nesikeičia. Teisingas draudimo funkcijos apibrėžimas būtų “pinigų srautų balansavimas”, kas yra labai svarbu tiek versle, tiek privačiam gyvenime (na ne kiekvienas gali sau leisti nusipirkti antrą automobilį jei iš jo kitą pavogė). Todėl, pavyzdžiui, taksi firmai draustis vis mažiau apsimoka kai jos automobilių parkas auga ir sugadinto automobilio nuostoliai bendriems pinigų srautams nėra dideli.

Vitalijus, 2010-09-19 02:27:33

Ne į temą aš čia bet šiaip prisimindamas jūsų paskaitas. Įdomiausias tikimybių teorijos paradoksas tai man yra Monti Hollo problema, atsimenu kažkiek užsiminėt per paskaitas o neseniai pats kažkur internete susidūriau ir gan aštri diskusija ten buvo užvirus. Apie tai, kad tikimybių teorija neturi “atminties” (atidarant duris antrą kartą) ir t.t.

Marius Alaburda, 2010-09-22 14:21:11

Sveiki, visi,

Visų pirma – širdimi jaučiu, kad „pirmas rutuliukas didesnis už paskutinį“ tikimybė vis tik yra 50%. Nes pirmas ir šeštas kamuoliukai vienodi negali būti, vadinasi – galima tokia pat tikimybė, kad pirmas iškris A, o paskutinis – B, kaip ir pirmas – B, o paskutinis – A. Čia ne mokslinis metodas, tiesiog tai jaučiu širdimi, kad tai yra teisinga 😉

Bet mano komentaras – ne apie tai. Kažkada, išgirdęs šią teoriją (“dvigubink statymą ir tada niekada nepraloši”), nutariau patikrinti ją praktiškai. Parašiau Pascal kalba nedidelę programėlę (failo data rodo 2002 metus) ir išbandžiau ją. Čia viskas sąžininga – tikimybė 50% prieš 50%, jokio sukčiavimo ir vis tiek kas kartą sėkmingai pavyksta nuvažiuoti į bankrotą… Didesnė suma tik padeda ilgiau išsilaikyti, bet finalas – tas pats. ;-).

To paaiškinimas ganėtinai paprastas. Pradžioje statome litą, jei laimime – viskas ok, vėl statysime litą, jei pralošiame – statome du litus. Jei laimime – vadinasi per du lošimus būname išlošę tik vieną litą, nes antrą pralošėme pirmu bandymu. Jei pralošiame – statome keturis litus. Jei po šio bandymo pralaimime – statome aštuonis litus ir t.t. Vadinasi – kai mes kažkada laimime – tai laimime tik vieną litą, nors tam, kad pasiekti tą laimėjimą – rizikavome žymiai didesne suma.

Klausydamas šio paaiškinimo, neretas skaitytojas suabejos: „Juk tikimybė, kad, tarkime, 10 kartų iš eilės iškris „herbas“ yra praktiškai nulinė“. Ne nulinė, o viena iš 1024. Ir kai devynis kartus iš eilės pralošiame – mes rizikuojame 512 Lt. tik tam, kad „atsilošti“ tą vieną vienintelį lituką, nes 511 Lt. jau pralošėme iki tol. Kitaip sakant – labai maža nesėkmės tikimybė atsveriama didele netektimi, jei tai įvyksta (analogiškai loterijos laimėjime – tikimybė laimėti milijoną yra mažesnė, nei vienas iš milijono).

Jei turėtumėte nelimituotą kreditą (ne milijoną ar milijardą, o realiai niekuo neapribotą) – tada visada laimėtumėte Jūs. Tačiau kadangi Jūsų turimi pinigai yra riboto dydžio – yra analogiška tikimybė, kad iškris tiek pralaimėjimo „herbo simbolių“, kad Jums reikės pastatyti tokią sumą, kurios jau nebeturėsite.

Tarkim, ką tik bandžiau imitaciją su pradiniais 1,000,000 litų, buvau pasiekęs sumą netgi 2,134,322 Lt., tačiau po 7,336,195 lošimų vis tiek liko apskritas nulis. Tam, kad nepakaktų tu dviejų milijonų su trupučiu – tereikėjo, kad „herbas“ iškristų 23 kartus iš eilės…

Nužėriau dulkes nuo senos programos, pakeičiau kintamųjų vardus į prasmingesnius, pridėjau komentarų ir noriu pateikti ją čia, galite pasibandyti.

Programa veikia su „Free Pascal“ (http://www.freepascal.org/) arba Turbo/Borland Pascal arba galite perrašyti programą savo mėgiama programavimo kalba, jei tai mokate 😉

Su linkėjimais –

Marius Alaburda

(KTUG, antroji laida, “B” klasė)

nesvarbu, 2010-09-22 15:59:28

Tiesa sakant, tikimybe issiskaiciuoja i labai grazu 50%. O buvusio studento “problema” labai tiksliai ivardijo Marius – tikimybe pralaimeti 20 (50, 100…) kartu is eiles yra artima – bet nelygi – nuliui. Klasikinis Merfio desnis – jeigu kazkas gali nepavykti, butinai nepavyks.

Burgis, 2010-09-23 08:21:58

Mariui: tegu mėgėjai patys persirašo programą, tai padeda! Atsiprašau, kad kol kas svetainėje skelbti programas problematiška. Bet kad nėra didelio poreikio…

Marius Alaburda, 2010-09-24 06:28:07

Dėl 50% tikimybės. Galimos tik dvi baigtys:

Abi jos gali įvykti ta pačia tikimybe, nes jokio kito varianto nėra (negali būti “lygu” arba “iškrito tik trys kamuoliukai ir mašina sugedo”).

Jei tartume – kad pirma tikimybė yra 0,47(2), tai tada antroji tikimybė turėtų būti 0,52(7), o tam nematau jokios priežasties 😉

P.S. Programa gražiai parodo, kaip ilgai kyla pinigai po litą ir netikėtai įvyksta bankrotas…

Dar pagalvosiu, kaip ją įkelti kažkaip ar kažkur 😉

Burgis, 2010-09-24 10:26:31

Ačiū, Mariau! Aš iš didelio rašto išėjau ne į tuos kraštus… Tai dar kartą patvirtina, kad bent jau man lošti labai pavojinga! Todėl ir nelošiu…

petras, 2010-09-24 13:44:40

aš jau sakiau vieną kartą, kad tikimybė visada yra 50 proc. įvyks arba ne.

Darius, 2010-10-19 10:06:48

Toks losimas kiekviena karta pralaimejus dvigubinti suma realiame pasauli yra tiesus kelias i bankrota nors kiekviena karta tikimybe ir yra 50 proc., kad laimesi, bet kas gali garantuoti, kad pirmi pvz. 100 kartu bus ne tavo pusej?

egidijus, 2010-10-27 11:58:47

Sveiki, pats buvau radęs tokį pusiau propagandinį straipsniuką šia tema (daugmaž žsidirbk lengvai). Bet kaip žinome, nemokamai gerų dalykų nebūna, o ypač iš kazino pusės. Žaidžiant ruletę ir statant tik ant spalvos, buvo galima pasidvigubinti sumą. Tam naudojau tą patį principą, kaskart po pralaimėjimo dvigubai keldamas sumą. Viskas puiku, kol vienasyk vis gi neįvyksta pralaimėjimas. Nors ir tikimybė maža, žaidžiant daug kartų ji vistiek tampa įmanoma. O ir lošimai toks dalykas, kad vistiek kaskart rideni naujai ir praeities nebelieka. Taip pat manau, kad kazino turi ne tik tokius kabliukus, kaip kad draudžiama nusiimti mažas sumas, jas reikia statyti dar kitur, kad galėtum nusiimti, bet ir reguliuoja stalus. Sėkmės realiame gyvenime! 🙂

RD, 2013-10-24 19:05:21

Tikimybė laimėti automobilį nusipirkus loterijos bilietą yra artima tikimybei laimėti traukinį nusipirkus traukinio bilietą…

fff, 2014-10-13 23:04:51

Neblogas losimas yra pasirinkti (neiskris kamuoliukas) koeficientas yra labai mazas , t.y tarp 1.10-1.15 , bet jei pralaimi tai visa statyta suma prarandi… tai pradejau nuo 40LT ir vis statydavau po 40-50LT uz ejima (loterijos buvo 7 is 42 ir 5 is 36) juose staciau sekesi … bet viskas ejo ant noro kuo greiciau pasidaryt kuo daugiau taigi sekminga ranka ta diena islosiau apie 200LT … kol nepradejau sekti kamuoliuku kurie iskrito pries tai sekos… kai pamaciau jog pries tai 2 kartus buvo iskrites kamuoliukas , pastatciau ant jo jog neiskris 3 karta , akurat … iskrito … ir taip ne viena kart kol , pralaimejau beveik viska , poto kita diena dasikopiau iki 50LT bet ir vel pralaimejau , ka noriu pasakyt tai kad tos loterijos nera live… jos yra nufilmuotos per kelias dienas ir sumontuotos , nes kiek pastebejau jog jei buvo pries tai daug pastatyta ant to skaiciaus kuris buvo iskrites kazkaip galimybe kad jis vel iskris padidejo ( nors staciau kad neiskris) visa ta lazybu punktu sistema yra valdoma algoritmu ir t.t , patarciau kas statote ar norite statyti , nestatykite , pamatysite laimesite viena kart . noresit iskart dar ir dar , tada suprasit kaip viskas dingsta , esu palikes neperdaugiausiai lazybu punkte bet sistema ju pinigu kalimo suprantu , galiu pasakyt kad dabar pasaulyje yra keli tukstanciai zmoniu is milijardu staciusiu kurie gali pragyvent is statymu … tai pat patarciau jei ir noretumet statyt ant kokio sporto tai nesusigundyti palankiais koeficientais , jie yra apskaiciuoti bendroviu kad tik suklaidintu klienta , ir beveik visos statymu bendroves naudoja viena sistema jog nebutu dideliu kirtumu tarp lazybu punktu statymu koeficientu. pvz: ( Futbolas – Lenkija 7.10 kof. – Vokietija 1.50 kof ) (ps zinant kaip zaide vokietija per cempionata dauguma statytu uz vokiecius) bet ta kart laimejo Lenkija ( Lenkija 2 : Vokietija 0) ir cia sneku ne tik apie si bet apie daugelius ,

ps. Turiu pazystama kuris yra keleta kartu kalbejes su TopSport vieno dalinio kaip ir direktorium , tai kai parode apyvarta bendroves tai issiziojo, jos apyvarta siekia per menesi tiek kiek vidutine kompanija per metus… ar net 5-10 metu … Atsiprasau kad rasau su klaidom.

diegas, 2015-05-06 17:29:41

Vejas tie jusu skaiciavimai ,ballloto ,sunys ir panasus losimai vyksta kompiuterio pagalba ,kompiuteris apskaiciuoja maziausia laimejima ir tada pateikia nugaletoja . Galite laukti didindami savo banka senatves … kuo didesnis bus statymas tuo mazesnis sansas laimeti.

SSaulius, 2015-11-30 13:28:43

Kazino paradoksas.

Tegu lošime dvigubindami statymus dviese, vienas tegu stato ant raudonų, kitas ant juodų langelių . Tada reikia tikėtis, kad tiek kiek pirmasis praloš, tiek antrasis išloš. Kad nesibaigtų pinigai, galima banką daryti bendrą. Bendra suma turėtų nekisti, tiesiog azartiškai praleistumėt laiką, bet… Pradeda vaidinti tai, kad ruletėje egzistuoja statymas „zero“ kurio tikimybė yra 1/37 ir tai yra kazino uždarbis, todėl galutiniame rezultate – pralošimas!

Antanas, 2015-12-08 22:42:16

Statymai nepasiteisina-daugybe spastu,uztamsinimas,laiko skirtumas,golai paskutinemis sekundemis (taip negali daug kartu buti) Tos bendroves tikrai kazka daro–laimeti tiesiog neimanoma,kaip ir visose kazino, arba loterijose. Kol pereisit visa tai ir suprasit-neteksit gan daug pinigu. Liudna,bet tai faktas. Kokia,po velniu, cia gali buti matematika,tikimybiu teorija–cia elementary apgavyste. Stebiuosi-loseju knibzda,ir beveik visi pralosia,o po ilgalaikio losimo-visi pralosia.

Antanas, 2015-12-08 22:51:11

O kas sakytina apie kazino ruletes, tai iseina,kad vienam gale zvejys,o kitam kvailys t.y. losejas. Tik sakoma,kad yra saziningumo kontrole,o is tikruju—kitam gale loseja kontroliuoja ir daro su juo ka nori-t.y. anksciau ar ve3liau-pralos.

Antanas, 2016-03-10 20:01:13

Ar teisinga loterijoje skaičiuoti 50*49*48*47*46?

Nes aš paskaičiavau, kad 2 iš 10 turėtų būti 10*9, bet exelyje susirašiau visus galimus variantus ir man vietoje 90 išėjo 45 galimi variantai. Pvz. 1-2, 1-3 … ir paskutinis 9-10.

alvydas, 2017-03-18 13:39:15

Mano komentaras i uzdavini.

Uz galimybe zaisti ta zaidima maksimaliai galeciau moketi 1,99e. Kodel? tikimybe laimeti 50/50 koeficiantas zaidimo turetu buti maziausiai 2.01, kad ilgainiui butum pliuse. Jei laimejimas kas kart 5e, galeciau moketi 4.99e ir pan.

O Martingale vartotojai yra WELCOME tikruose kazino, pats kazino is to uzdirba milijonus, niekas nestabdo tokiu zaideju, nes ilgainiui jie pralosia viska. sistema paprasta, losejas turi limita kiseneje, o ir pats kazino turi table limitus.

Vytis, 2017-08-20 01:35:03

Antanui: kalbi apie “eurojackpot”? Elementarus derinys 50*49*48*47*46 / 1*2*3*4*5 * 10*9 / 1*2 = 95 mln. Dalyba iš n faktorialo nes nėra svarbus skaičių išsidėstymas eilutėje. Taip kad tikimybė 1 iš 95 milijonų laimėt aukso puodą!