Vaikai, ar jūs žinote, kas yra jovalas? Tiesiogine prasme tai toks kiaulių ėdalas, o perkeltine prasme – kokia nors nevykusi, nepatraukli mišrainė… Kaip dabartinis mokyklos mokslas apie šaknis.
***
Pradėkime nuo ištakų.
Visi skaičiai yra kompleksiniai; kai kurie kompleksiniai skaičiai yra realieji; kai kurie realieji skaičiai yra racionalieji; kai kurie racionalieji skaičiai yra sveikieji; kai kurie sveikieji skaičiai yra natūralieji.
*
N-tojo laipsnio daugianario lygtis (laipsninių funkcijų su skaitiniais koeficientais algebrinė suma, prilyginta nuliui) visada turi lygiai n šaknų (sprendinių). Visada. Turi.
Jei lygties koeficientai yra realieji skaičiai, tai kiekvienai kompleksinei šakniai yra ir pora – jai jungtinė šaknis (nesvarbu, kad nesupratote!).
Iš to išplaukia, kad kvadratinė lygtis (kvadratinio trinario lygtis, daugianario, kurio aukščiausias laipsnis du, lygtis) visada turi du sprendinius. Du. Ne vieną. Negali neturėti nė vieno! Bet sprendiniai gali būti vienodi. Žinoma, gali!
Iš to išplaukia, kad kubinė lygtis visada turi tris sprendinius. Lygiai tris. Visada. Jei visi koeficientai – realieji skaičiai (mokykloje kitaip nebūna…), tai aišku (ar aišku?), kad bent vienas sprendinys yra realusis skaičius.
*
Tai kur čia kvadratinių ir kubinių (apie kitokias kol kas nekalbėsime…) šaknų problema? Problema, kad moksleiviai ir studentai dažnai nesuvokia, kaip jie išsprendžia lygtis!
Tai kvadratinė šaknis iš keturių yra tik du, ar du ir minus du? Kadaise atsakydavau taip: mokykloje – tik du, universitete – du ir minus du. Matematiškai: realiųjų skaičių aibėje – tik du, kompleksinių skaičių aibėje – du ir minus du. Dar kitaip: apibrėžus, kad mokyklinė (aritmetinė) šaknis yra neneigiamas skaičius iš neneigiamo skaičiaus (lengva įsiminti, nes skamba panašiai kaip Hamleto „Minėk maldoj manąsias nuodėmes, o nimfa!“) – tik du.
Bet jau ir tada kai kurie moksleiviai suglumę klausdavo: „O tai iš kur atsiranda minus du, išsprendus lygtį x^2-4=0?“ Galiu išsisukti atsakydamas, kad šiuo atveju jokių šaknų traukyti, pešioti, rauti nereikia: išskaidome (x-2)(x+2)=0 – ir visos problemos dingsta. Galėčiau paaiškinti ir su moduliu, bet kam tai įdomu?
*
Įdomiau, ką daryti su lygtimi x^3+8=0? Trauksime kubinę šaknį iš minus aštuonių? Trauksime mokykloje ar universitete? Universitete problemų nebus – ištrauksime ir gausime tris atsakymus. Tris. Jokiu būdu ne vieną! O mokykloje? Išsisuksime išskaidydami: (x+2)(x^2+2x+4)=0? Ar vis tik trauksime?
*
… Skaitytojų neliko, tai ir baigiu. Juk įspėjau – tai nebaigta paskaita…
Atsakymai
Burgis, 2012-01-20 09:12:29
Įverčiams…
Gediminas, 2012-01-20 12:48:35
Nesuprantu kodėl toks mažas reitingas?! Nes “paskaita” tai nuostabi geneali ir paprasta.
Burgis, 2012-01-20 13:51:13
Ačiū, Gediminai!
laisvamanis, 2012-01-20 16:27:54
jau seniai neapturėjau tokio džiaugsmo – taip gražiai parašyto paprasto matematinio teksto (deja, sudėtingi – man per sunkūs…) kas iš lankytojų galėtų pamokyti, kaip balsuoti pliusais ne vieną kartą?
plius plius ir dar daug kartų PLIUS
Burgis, 2012-01-20 16:33:11
O, laisvamanio pagyrimas man yra pliusas kvadratu! Ačiū! Skatinate dirbti…
laisvamanis, 2012-01-20 17:00:53
dar vienas pliusas 🙂 sėkmė Jums ir Jūsų šeimai
sms, 2012-01-20 19:03:59
Na, net ir aš uždėjau pliusą 🙂
Ignas, 2012-01-21 15:19:34
Vienas iš pagrindinių nesusipratimų matematikoje yra tai, kad neretai manoma, jog kuo mažiau paaiškinimo, kuo daugiau vien tik buko faktų žinojimo – tuo bus paprasčiau ją mokytis.
sqrt, 2012-01-24 20:18:11
Ačių už tekstą, pateiksiu keletą priekabių 🙂
a. Ne visi skaičiai yra kompleksiniai. Ir naudojantis kai kuriais iš jų galima ir kvadratines lygtis spręsti (pvz. p-adiniai, baigtinių kūnų elementai).
b. Pagal įprastą terminologiją lygtys neturi šaknų. Kaip tiksliai pastebėta skliausteliuose, jos turi sprendinius. Šaknis turi pats daugianaris. (Kaip pamatysime, ši perskyra man atrodo svarbi.)
c. Nepritariu pasakymui “kvadratinė lygtis visada turi du sprendinius”, nes jis neintuityvus ir klaidinantis:
– Onute, kiek sprendinių turi lygtis x*x = 0?
– Vieną, x=0.
– Neteisingai! Ji turi du sprendinius x=0 ir x=0!
Tačiau teiginys, kad bet kuris n-tojo laipsnio daugianaris turi n šaknų (virš kompleksinių) atrodo viliojantis, tad kaip sutaikyti šiuo du galu? Mano siūlymas yra atskirti daugianario analizinę prigimtį nuo algebrinės štai tokiu būdu:
Lygties p(x) = 0 sprendiniais vadinsime x reikšmes (aibę) su kuriomis lygybė yra teisinga. Onutei šitai turėtų patikti ir ji šitas lygtis turėtų mėgti.
kita vertus
Skaičių a vadinsime daugianario p(x) šaknimi, jei (x-a) dalo p(x). Didžiausią skaičių k, su kuriuo (x-a)^k vis dar dalo p(x) vadinsime tos šaknies a kartotinumu. Tuomet galime formuluoti patikslintą mėgiamos teoremos versiją – bet kuris n-tojo laipsnio daugianaris turi n šaknų įskaitant kartotinumus.
Pastebėkime, kad šita perskira išryškina skirtumą tarp savokų ‘sprendinys’ ir ‘šaknis’. Taip ir turi būti – sąvoka šaknies kartotinumas yra įprasta, o sprendimio kartotinumas ne. Taip pat sprendinius patogu suvokti kaip aibę, o šaknis, kaip multiaibę.
d. Labai nepatinka man ši pastraipa, tai net nurašysiu visą:
“Tai kvadratinė šaknis iš keturių yra tik du, ar du ir minus du? Kadaise atsakydavau taip: mokykloje – tik du, universitete – du ir minus du. Matematiškai: realiųjų skaičių aibėje – tik du, kompleksinių skaičių aibėje – du ir minus du.”
Pirma matematika nesikeičia pereinant į kitą instutuciją. Jei ji pasikeitė, tai mokytojas kvailys (atsiprašau visų iš karto) ir pats nesupranta apie ką kalba. Antra – minus du yra realusis skaičius, tad paaiškinimas po “Matematiškai:” mažai ką paaiškina, nors slapta mintis aiški (kai žinai, ką norėta pasakyti, žinoma). Tačiau ta slapta mintis reikalauja paaiškinimo.
“Šaknimi” (kvadratine ar kubine) mes galime norėti vadinti *funkciją*. Dažnai to norime, nes ką kitu atveju reikštų \sqrt{2} + \sqrt{3}? Dviejų aibių sumą? Jei jau šito norime, tai viskas tampa aišku, šaknis visuomet bus viena (principinė) nesvarbu ar realioji ar kompleksinė. Kaip jau susitarsime ją išsirinkti iš kandidatų — kitas klausimas. Pavyzdžiui galime visada imti teigiamą jei išmanome tik realiuosiu. Arba mažiausio argumento, jei jau gyvename kompleksinėje plokštumoje.
Kita vertus, kartais “šaknimis” iš skaičiaus mes galime norėti vadinti visą aibę, pavyzdžiui “kompleksinės šaknys iš vieneto”. Viskas čia irgi gerai.
Svarbu pačiam nesusipainioti ir kitų nesupainioti. Jei jau kilo nors menkiausia abejonė dėl termino, reikia žengti vieną žingsnį atgal ir pasižiūrėti, kas šiuo atveju tuo terminu apibrėžta.
e. Nepriekabė, bet summa summarum. Iškėlėte labai rimtą mokyklinę painiavą į paviršių, ir tikrai ją reikia išpainioti. Gali būti, kad paprasčiausia tai padaryti suvokiant, kad susiduriama su trimis labai glaudžiai susijusiais objektais – šaknimis (daugianario), sprendiniais (lygties) ir šaknimis (funkcijomis). Vienas yra multiaibė, kitas aibė, trečias funkcija.
Burgis, 2012-01-24 21:11:19
sqrt: tik to man ir trūko! Esu sužavėtas! Šios svetainės skaitytojai nemato, kas Jūs, bet aš matau el. pašto adresą ir žinau!
*
Viskam, ką pasakėte, pritariu, bet… Ar ne matematikai ir sujaukė visą mokyklinę matematiką? Tiksliau sakant, atsitiko taip: tokiais kaip Jūsų tekstais matematikai nuo mokyklos „nubaidė“ tokius kaip aš nematematikus, o paskui patys „pabėgo“, nes mokykla jiems „ne lygis“, o ir tokių tekstų skaitytojų mokyklose liko vos keli žmonės…
*
ir vis tik – koks būtų džiaugsmas ir gėris, jei šioje svetainėje įvairiomis temomis diskutuotų tų sričių profesionalai – kaip Jūs. Nuoširdžiausiai dėkoju!