UŽDAVINYS. NUOSTABUS HIBRIDAS….
Būtų gerai per egzaminą….
Petras nudažo tvorą, kol laivas nuplaukia 180 km. kelią pasroviui. Jonas nudažo šią tvorą, kol šis laivas nuplaukia 180 km. kelią ta pačia upe prieš srovę.
Kokį kelią nuplauktų šis laivas stovinčiame vandeny, kol Petras ir Jonas, dirbdami kartu, nudažys tą tvorą?
***
Atsakymai
Sokolovas, 2017-03-16 23:03:45
Gerbiamam Burgiui:
Dėkui Jums !
Sokolovas, 2017-03-17 12:35:01
DAR UŽDAVINYS
Dėžėje yra šeši balti rutuliai, ir tam tikras skaičius juodų rutulių. Tikimybė ištraukti iš šios dėžės baltą rutulį yra lygi tikimybei, kad du paimti rutuliai bus juodi. Kiek juodų rutulių yra dėžėje?
Vilius, 2017-03-17 16:19:31
Pirmojo uždavinio atsakymas: 80km, o antrojo , manau, jog dėžėje yra 10 juodų rutulių.
Simonas M., 2017-03-17 18:28:31
Visai nebloga mintis karts nuo karto užvesti diskusiją apie matematiką, kad kitos temos liktų ramybėje.
Olimpiadiniams laikams praėjus mano diskusijų objektu vis labiau tampa ne moksleiviai ar studentai, kaip riešutus gliaudantys kietus uždavinius, o bet kurie asmenys įskaitant ir tuos gudruolius. Juk mes gatvėje sutinkame paprastus žmones, su kuriais susišnekėti reikia paprastai. Be to, jei ir sutiktume kokį nors išsilavinusį savo srities žinovą, gali būti sunku rasti su juo bendrą kalbą, jei toje srityje nieko nesuprantate. Mokytojo tikslas irgi turėtų būti mokėti dirbti su paprastais vaikais, o ne iš klasės išsirinkti tik gabiausius ir tik jiems skirti dėmesį.
Keliems žmonėms esu pasakojęs, kad tam tikru požiūriu daugybos lentelės mokymasis visai nesiskiria nuo įrodymo, kodėl bet kurio realiųjų skaičių poaibio matas visada išlieka vienodas (pagal apibrėžimą). Tik daugybos lentelę mokosi žmonės, kuriems 9 metai, o matuoti aibes – kuriems 21 metai. Pavyzdžiui niekas nepaneigtų, jog pradedant mokytis šias temas gaunamas didelis naujos informacijos kiekis, yra didelė tikimybė nesuprasti, ką su ja veikti ir šias temas ilgai ir skausmingai mokytis. Bet apie tai kitame komentare.
Tuo pasinaudodamas šiame komentare įkelsiu vis labiau man žinomu tampančio Mokytojo pastebėjimus savo tinklaraštyje:
https://vmiezys.wordpress.com/
O štai čia jo pamokėlė apie dalmens savybes pi dienos proga, kad nenukryptume visiškai nuo matematikos:
https://www.youtube.com/watch?v=ofxaqZGD-5c
Sokolovas, 2017-03-17 19:48:25
Viliui:
Pirmojo uždavinio atsakymas: 90 km.
Antrojo- teisingai,- dėžėj 10 juodų rutulių.
Jonelis, 2017-03-17 23:04:27
Gal galėtumėte pateikti šių uždavinių sprendimus? Ačiū.
Simonas M., 2017-03-18 01:32:17
Sokolovui. Matau, kad jūsų uždaviniai tampa vis kūribiškesniais.
Jeigu gerai mokame elgtis su formulėmis, tai galime panaudoti pažymėti savąjį laivo greitį v, upės tėkmės greitį u ir gauti, kad upėje laivo greitis būna v+u ir v-u. Tada jau galime pasakyti viską, ką norime, ir apie laikus, kuriuos užtruks Jonas ir Petras dažydami tvorą. Na, o tada, jeigu mokyklinį kursą mokame taip gerai, kad nereikia atsiversti formulyno, nesunkiai rasime ir kiek laiko užtrunka jiems abiems nudažyti tą tvorą (čia šiek tiek jums padėsiu). Dar vienas nesudėtingas mostas ir turėsime galiausiai atsakymui reikalingą atstumą.
Galėčiau šias mintis pateikti ir formulėmis, tačiau tose formulėse dažnai trūksta emocijos, aiškumo, pasimeta ryšiai, ypač, jei nekomentuojame, ką darome. Įdomumui vėliau kurią nors dieną pabandysiu pateikti tokį sprendimą, kad ir kaimyno vaikui būtų aišku.
Simonas M., 2017-03-18 02:15:50
Pažiūrėkim, kokia įdomi gaunas laiko apskaičiavimo formulė, kai tvorą dažo du veikėjai, kurių vienam visas darbas užtruktų laiko tarpą tA, o kitam tB. Tuomet per vieną laiko vienetą pirmasis atliktų 1/tA darbo, o kitas atliktų 1/tB darbo. Vadinasi, jie abu per laiko vienetą atliktų 1/tA + 1/tB darbo. Dar žinome, kad laiko tarpas darbui atlikti ir dydis, pasakantis, kuri dalis darbo atlikta per tą vienetą, yra vienas kitam atvirkštiniai. Todėl, norint nustatyti, kiek laiko užtruks darbą atlikti visiems veikėjams, reiktų gautą rezultatą apversti ir parašyti reiškinį 1/(1/tA+1/tB). Pavadinkime šį rezultatą t_(A+B)
Šičia slypi viena iš daugelio gamtoje slypinčių paslapčių. Pažiūrėję į šią formulę nesunkiai galėtumėte atspėti, kad trys veikėjai, kuriems laiko reikia tA, tB ir tC, darbą atliks per laiko tarpą 1/(1/tA+1/tB+1/tC). Ir dar daugiau: mums net nesvarbu, ar pirmų dviejų veikėjų draugija dirba kartu su trečiu, ar dviejų paskutinių veikėjų draugija dirba kartu su pirmu, formulė nepasikeis. Galite pabandyti įrodyti, kad du veikėjai, padarantys darbą per laiko trukmes t_(A+B) ir tC užtruks tiek pat, kiek du veikėjai, padarantys darbą per tA ir t_(B+C).
Gudresnieji, mokantys matematinę indukciją, gali surasti ir formulę su n žmonių.
Tą stebuklą, kurį mes čia turėjome, galime pavadinti tiesiog algebra. Oi, nors ir panašu, bet tikrai ne algebra kaip matematikos šaka, kur dirba su reiškiniais. Tai matematinių objektų algebra. Įsivaizduokite, tik ką atradome specialią laiko sudėtį! Ir tikrai, ji nuo tikrosios beveik nesiskiria: ir objektus galime sukeisti, ir sudėjimo tvarka nesvarbi. Algebrų pavyzdžių gamtoje yra nemažai. Galėčiau dar pridurti, kad, jei pradedame klausti ne kaip atlikti veiksmus su tam tikrais nariais, o kokie yra dėsningumai tarp tų narių, kokiais ryšiais jie susieti, ar tų dėsningumų veikimas nepriklauso nuo narių skaičiaus, priartėjame prie dangaus. Kitaip, žengiame į moderniąją, abstrakčiąją matematiką. Jeigu kam nors bus įdomu, galėsiu kitame komentare išvardinti keletą mums gerai žinomų algebrų pavyzdžių.
Iš esmės šis uždavinys man kažkiek pasirodė panašus į uždavinius, kuriuos sprendė Einšteinas savo reliatyvumo teorijoje. Jis tiesiog įvedė pora dėsnių ir jais remdamasis išvedė algebrą, kuri turėjo apibūdinti, kaip kinta daikto matmenys ir laiko tėkmė, kai atskaitos sistema stebėtojo atžvilgiu juda artišviesiniais greičiais. Mokslui beliko jo mintis tik patvirtinti.
Sokolovas, 2017-03-18 18:53:30
PIRMOJO UŽDAVINIO SPRENDIMAS
Tegu laivo greitis stovinčiame vandeny x,
upės tėkmės greitis y.
Petras nudažo tvorą, kol laivas nuplaukia 180 km. pasroviui, todėl Petras nudažo tvorą per laiką
a= 180/ (x+y).
Jonas nudažo tvorą, kol laivas įveikia tą patį kelią prieš srovę, todėl Jonas nudažo tvorą per laiką
b= 180 / (x – y).
Dirbdami kartu, jie nudažytų tvorą per laiką T, kuris nustatomas iš lygybės
1/T =1/a + 1/b.
Todėl 1/T = (x +y) / 180 + (x- y)/180, t.y.
1/T = 2x / 180.
1/T = x / 90.
Taigi. laivas stovinčiame vandeny ( t.y. greičiu x) plaukia laiką T = 90/x.
Jis nuplauks s=xT =x (90/x) =90 km.
Atsakymas: 90 km.
Sokolovas, 2017-03-19 08:47:28
MINTYS APIE TIKIMYBĘ (1)
Kas yra ta tikimybė? Kas yra įvykis? Jei taip, be “griežtų formuluočių”…
Tikimybių teorija grindžiama “trim banginiais”. Tai- SĄLYGOS – BANDYMAS – ĮVYKIS.
Įvykis,- tai BANDYMO REZULTATAS. Be atsitiktinių įvykių, galinčių (atlikus bandymą) įvykt arba neįvykt, yra dar “du kraštutinumai”. Tai BŪTINAS ĮVYKIS, įvykstantis kiekvieną kartą, atlikus bandymą. Ir NEGALIMAS ĮVYKIS, kuris neįvyksta, kad ir kiek kartų atliktume bandymą.
Būtino įvykio tikimybė lygi 1, negalimo įvykio tikimybė lygi nuliui.
Atsitiktinio įvykio A tikimybė skaičiuojama principu
P(A)= m(A)/n,
kur n- visų bandymo baigčių skaičius,
m(A)- įvykiui A palankių bandymo baigčių skaičius.
Beje, skaičiavimas yra pagrįstas tik tuomet, kai viena iš SĄLYGŲ yra SIMETRIJA, t.y. kai visos bandymo baigtys yra VIENODAI TIKĖTINOS.
Pavyzdys: Metame simetrišką monetą. Tikimybė, kad atvirs herbas 1/2.
Pavyzdys: Du kartus metama simetriška moneta. Kokia tikimybė, kad abu kartus atvirs herbas?
Sprendimas:
Visų bandymo baigčių aibė:
{ (h,h), (h,s), (s, h), (s, s)}, t.y n=4.
Įvykiui A (abu kartus atvirs herbas) palanki baigtis yra vienintelė: (h, h), t.y. m(A) =1.
Atsakymas: P(A) = 1/4.
Sokolovas, 2017-03-19 12:35:03
MINTYS APIE TIKIMYBĘ (2). DALAMBERO KLAIDA
Visi, gyvenantys viltimi,
kartoja šią klaidą…
Žanas Dalamberas (18 amžius), spręsdamas uždavinį “kokia tikimybė, kad herbas atvirs abu karts?” (žr. ankstesniąją dalį), buvo gavęs atsakymą 1/3.
Esmė tai, kad jis šio bandymo baigtis formulavo “nepaisydamas tvarkos”, t.y. taip:
{ {h,h}, {s,h}, {s,s}}.
Kame čia reikalas, kur klaida? Juk bandymo baigtis galima ir taip formuluoti !
Esmė tai, jog tikimybės skaičiavimo principas (klasikinis tikimybės apibrėžimas) P(A) =m(A)/n
yra galimas tik tada, kai bandymo baigtys yra VIENODAI TIKĖTINOS. Tuo tarpu baigtis {s,h} yra tikėtinesnė už kitas…
Bet tada buvo tikimybių teorijos AUŠRA. Tai buvo PIRMOJI PAŽINTIS, atmetanti “sausą analizę”, ir besišaukianti SUBJEKTYVUMO..
Pirmoji pažintis…Juk visada šaukiasi subjektyvumo,
esą “bus taip, kaip aš noriu”…Širdžiai neįsakysi būti objektyviai…
Tuo tarpu įvykio tikimybė yra OBJEKTYVI, t.y. ji nepriklauso nuo mūsų, ir nuo mūsų mokėjimo ją apskaičiuoti. Vėliau prie to grįšime. O kol kas…
Kiekvienas iš mūsų kartais GYVENA VILTIMI, “savo vaikų nepaliekančia”. Gyvendami viltimi, būname “šališki”, “sureikšmindami” būtent tas bandymo baigtis, kurios yra palankios MŪSŲ NORAMS BEI SLAPČIAUSIOMS SVAJOMS. “Taip turi būt, nes tai teisinga…”, ir pan. Tuo ir išsiskiria romantikai, atsisakantys pripažinti, jog teisybė “visada nugali” tik…pasakose.
Ir todėl kiekvienas iš mūsų, gyvenančių viltimis, kartoja tą įžymią Dalambero klaidą. “Didinam” tikimybę to, ko geidžiame, ir “mažinam” tikimybę to, ko kratomės…
Širdžiai neįsakysi. Ir Dalambero klaida yra ypatinga tuo, kad …nedaro gėdos ją darantiems.
Sokolovas, 2017-03-19 15:43:50
MINTYS APIE TIKIMYBĘ (3). TIKIMYBĖ OBJEKTYVI !
Nuo likimo nepabėgsi,
jo nepakeisi…
Aišku, pavyzdys, kurį čia pateiksiu, nėra visavertis “lemties viršenybės” įrodymas. Bet, daug ką paaiškina
PAVYZDYS: Šešiems pokylio dalyviams buvo pasiūlyta loterija: Dėžėje šeši loterijos bilietai, tarp jų tik du laimingi. Dalyvis atsitiktinai ištraukia bilietą, po to traukia kitas, ir t.t. Ir tik tada, kai visi šeši bilietai ištraukti, dalyviai atklijuoja jų vokus (lemtingoji akimirka).
Ar tikimybė ištraukt laimingą bilietą priklauso nuo to, ar tu trauksi pirmas, ar leisi traukti pirmam savo “varžovui”? Kitaip tariant, -ar tu gali pakeisti savo likimą šiame žaidime?
Sprendimas: Tarkime, tu trauki pirmas. Kadangi dėžėje iš šešių bilietų tik du laimingi, tai tikimybė ištraukt laimingą bilietą yra 2/6 =1/3.
O jei trauki antras, t.y. po “varžovo”? Mes nežinome, kokį bilietą ištraukė varžovas. Bet kai ką mes vis dėlto žinome. Žinome, kad varžovas ištraukė arba laimingą bilietą (tikimybė 2/6), arba nelaimingą bilietą (tikimybė 4/6). Pirmu atveju tikimybė, kad tu (traukdamas po varžovo) ištrauksi laimingą bilietą, lygi 1/5, antru atveju- 2/5.
Tad tikimybė ištraukti laimingą bilietą, traukiant antram (po varžovo), yra lygi:
(2/6)*(1/5) + (4/6)*(2/5) = 1/15 + 4/15 = 1/3.
Taigi, tikimybė laimėt nepriklauso nuo to, kelintas eisi “traukti laimę”…Kiekvienas gali įsitikinti, jog išvada nepasikeis, kokius pradinius skaičius (bilietų ir laimingų bilietų) bepaimtumėte.
Taigi,- tikimybė objektyvi. Ji nepriklauso nuo mūsų ir mūsų žinių apie ją. Liaudis tuo klausimu sako-“nuo likimo nepabėgsi”…
Sokolovas, 2017-03-19 16:24:14
ANTROJO UŽDAVINIO (“DAR UŽDAVINYS”) SPRENDIMAS
Dabar jau esame pasirengę ir antrojo uždavinio sprendimui.
Tarkime, jog dėžėje yra šeši balti rutuliai ir n juodų rutulių. Kaip jau žinome, tikimybė paimt baltą rutulį yra lygi 6 / (6+n).
Tikimybė paimt juodą rutulį yra lygi n/(6 +n). Tikimybė, kad antras (po to ištrauktas) rutulys bus juodas, lygi (n- 1) / (5+n).
Tikimybė, kad abu ištraukti rutuliai bus juodi, lygi tikimybei, jog pirmas bus juodas, IR antras bus juodas. Jungtukas IR kildina tikimybių daugybos veiksmą. Todėl tikimybė, kad abu ištraukti rutuliai bus juodi, yra n(n- 1) / (6+n)(5+n).
Kadangi, pagal uždavinio sąlygą, tikimybė ištraukt baltą rutulį yra lygi tikimybei ištraukt abu juodus, tai sudarome lygtį
6 / (6+ n) = n(n- 1) / (6+n) (5 +n),
t.y. 6(5 +n) = n(n- 1).
Šios lygties teigiamas sveikasis sprendinys n=10.
Atsakymas: 10.