*
Bandau įvesti tvarką… Kitaip tie uždaviniai pasirodys pačiose netikėčiausiose vietose…
*
Sokolovas, Kovo 5 20:46 #
MOKYTOJŲ KAMBARY PRIE KAVOS PUODELIO
Svajos mano-
Viltys mano…
Funkcija f(x) apibrėžta intervale [a; b]. Funkcijos IŠVESTINĖS grafikas yra pusapskritimis, kurio skersmuo yra Ox ašies atkarpa [a; b].
Funkcijos didžiausioji reikšmė intervale [a; b] yra lygi
5 pi, mažiausioji reikšmė šiame intervale ( – 3 pi).
Apskaičiuokite to pusapskritimio (grafiko kreivės) ilgį.
***
Sokolovas, Kovo 5 10:13 #
SEKMADIENIO UŽDAVINYS
Graži trigonometrija
a) Įrodykite,jog (sin70)(2sin50 – 1) = 1/2.
b) Taisyklingojo devynkampio ilgiausios įstrižainės ilgis lygus n, trumpiausios įstrižainės ilgis lygus m.
Dydžiais m ir n išreikškite šio taisyklingojo devynkampio perimetrą ir plotą.
Atsakymai
Sokolovas, 2017-03-06 12:51:44
Gerb. Burgiui:
Nuoširdžiai Dėkui Jums !
Burgis, 2017-03-06 12:56:29
Sokolovui: po trijų dienų parašyčiau pateikti sprendimus. Ačiū!
Matas, 2017-03-06 17:24:40
Koks gražus ir įdomus pirmas!! Norėjau brutaliai gauti funkciją, bet patingėjau, ir ne be reikalo 🙂 Ar atsakymą gerą gavau – 4pi?
Trigonometrijos a) – atrodo gan specifiškas, turi atspėti uždavinio galą, kiek pabandžiau, kad žinotum, kaip pradėti spręsti.
b) Juk turėtų būti galima išreikšti tik vienu iš jų, kam reikia dviejų? Kažkoks papildomas gražumas? Tada truputį neaišku, ko išreiškinėjant geriau nenaudoti – kažkokių kampų trigonometrinių funkcijų?
Elena, 2017-03-06 18:03:48
Ir gerb.Burgiui ir gerb.Sokolovui,-
10 balų vertas šios dienos puslapis už abiejų autorių -Jūsų- nuostabų kompromisą. Tai aukšto lygio kultūringų žmonių kompromisas. Verta pasimokyti ne tik spręsti/neišspresti matematikos įdomių uždavinių. Verta pasimokyti ir tolerancijos, ir pakantumo, ir pagarbos asmenybei ir…
Be vieno iš Jūsų būtų nuobodžiau.
Ta proga sentencija :
Žmonės primena ežiukus. Jie bėgioja, badosi,purkštauja, bet vistiek glaudžiasi vienas prie kito. Taip šilčiau maloniau ir geriau.
Simonas M., 2017-03-06 18:23:18
Šiek tiek gaila, kad tie uždaviniai bus nupūsti į archyvą, kur norint ką nors konkretaus surasti, reik pasistengti. Gal galite juos priskirti prie matematikos temos, jei yra tokia galimybė?
P.S. Būsiu nuo šiol Simonas M., o ne miklis. Viskam ateina savas laikas. Gal kada prie progos pavyks man paaiškinti apie tą norą išlikti anonimišku.
Sokolovas, 2017-03-06 19:39:54
Matui:
Taip, pirmo uždavinio atsakymas 4pi.
Antro uždavinio pirma dalis bus nesunki, mokant ( ar išvedus) formulę
2sina sinb= cos(a- b) – cos(a+b),
bei tai, jog sina= cos(90 – a).
Antrojoje dalyje “papildomas gražumas” yra tai, jog taisyklingojo devynkampio kraštinės ilgis lygus ilgiausios ir trumpiausios įstrižainių ilgių skirtumui, t.y. n- m. Aišku, tai reikia pagrįsti. Galima remtis (a) dalies lygybe.
Aš pats šį įdomų faktą “nusiskyniau”, “obuoliaudamas” kompleksinėj plokštumoj ( kartais einu ten pasivaikščiot). Bet, kaip jau minėjau, galima ir elementarios trigonometrijos pagalba.
Pateiksiu sprendimą trečiadienį-ketvirtadienį 🙂
Matas, 2017-03-07 15:10:35
Man a dalis antro uždavinio pasirodė labai susijusi su cos(3x) išsireiškimu, nes kairę pusę galima pertvarkyti į cos(60).
Sokolovas, 2017-03-07 15:31:52
Matui:
Galima ir taip…
Alma, 2017-03-08 05:34:39
Fantastiškas puslapis. 🙂 Nuotaika pakelta nerealiai. Gražios Jums dienos.
Sokolovas, 2017-03-08 13:36:12
PIRMOJO UŽDAVINIO SPRENDIMAS
Tarkime, jog funkcija yra f(x), jos išvestinė g(x). Duotas išvestinės g(x) grafikas- pusapskritimis, kurio skersmuo yra Ox ašies atkarpa [a; b].
Tarkime, jog pusapskritimis viršutinis. Tuomet intervalo [a; b] vidiniuose taškuose išvestinė
g(x)>0, todėl šiame intervale funkcija f(x) yra didėjanti.
Todėl jos mažiausioji reikšmė įgyjama taške a, didžiausioji reikšmė- taške b,
t.y. f(a)= – 3pi, f(b)=5pi.
Kreivinės trapecijos, kurią apriboja kreivė y=g(x) ir y=0 (Ox ašis), plotas lygus funkcijos g(x) apibrėžtiniam integralui nuo a iki b. Pagal Niutono-Leibnico formulę šis integralas lygus f(b)- f(a)= 8pi, nes funkcijos g(x) pirmykštė funkcija yra f(x).
Taigi, pusskritulio plotas pi (R^2)/2 =8 pi, todėl
R=4, pusapskritimio ilgis pi R =4pi.
Atsakymas: 4 pi.
P.S. Jei pusapskritimis apatinis, keičiasi tik kai kurios sprendimo eigos detalės. Išvados lieka tos pačios.
Sokolovas, 2017-03-09 09:16:12
ANTROJO UŽDAVINIO (a) DALIES ĮRODYMAS
Yra žinoma, jog
cos(a-b)= cosa cosb + sina sinb
cos(a+b) =cosa cosb – sina sinb.
Šios formulės yra ir VBE formulių rinkiny.
Atėmę ir pirmosios lygybės antrąją, ir sukeitę puses vietomis, gausime:
2sina sinb = cos(a-b) – cos(a+b).
Dabar pereisime prie mums pateiktos lygybės įrodymo.
Tvarkome jos kairiąją pusę:
sin70 (2sin50 – 1)= 2sin70 sin50 – sin70=
=cos(70- 50) – cos(70+50)- sin70=
=cos20 – cos120 – cos(90- 70)=
=cos20 +1/2 – cos20 = 1/2. Lygybė įrodyta.
Sokolovas, 2017-03-09 09:58:59
ANTROJO UŽDAVINIO (b) DALIES SPRENDIMAS (1)
Tegu taisyklingojo devynkampio viršūnės ABCDE…
Kraštinės ilgis AB=a, trumpiausios įstrižainės ilgis
m=AC, ilgiausios įstrižainės ilgis n=AE.
Kampas <ABC =(9- 2)180/9=140 (laipsnių) , todėl
iš lygiašonio trikampio ABC gauname:
sin70= m/(2a) (1).
Kampas <ACE =100 (laipsnių), todėl iš lygiašonio trikampio ACE gauname:
sin50 = n/(2m). (2).
Įrašę į (a) dalies lygybę vietoj sin70 ir sin50 lygybių (1) ir (2) dešiniąsias puses, gausime:
(m/2a) ((n/m) – 1) =1/2, iš čia a=n- m.
Taigi, devynkampio perimetras P=9(n=m).
Sokolovas, 2017-03-09 11:41:48
ANTRO UŽDAVINIO (b) DALIES SPRENDIMAS (2)
Išreikšime dydžiais m ir n taisyklingojo devynkampio
ABCDE… plotą.
Akivaizdu, jog šis plotas S=(9/2)(R^2)sin40.
Čia R- apie devynkampį (taigi, ir apie trikampį ABC) apibrėžto apskritimo spindulys. Todėl
R=m/ (2sin140)= m/(2sin40).
Taigi, devynkampio plotas
S=(9/8)(m^2)/sin40.
Kadangi sin40=cos50=(sqrt(4m^2 – n^2) / 2m,
tai S=(9/4) (m^3)/ sqrt(4m^2 – n^2).
mama R, 2017-03-10 17:21:10
Išprotėjęs tas Sokolovas :)…. (gerąja prasme)
Elena, 2017-03-10 23:04:23
Mamai R,-
pritariu Jums.Bet išprotėt žaismingai yra ir žavu, jei tai neperilgai užtrunka.
P.S. pasakyti sau kada “Stop-gana”yra gana sunku ir nežinai – kada?
Sokolovas, 2017-03-12 11:11:26
DAR UŽDAVINYS
Pirmoje dėžėje 5 balti ir 10 juodų rutulių. Antroje dėžėje- du balti, ir du juodi. Iš pirmos dėžės atsitiktinai imame penkis rutulius, ir dedame į antrą dėžę. Po to iš antros dėžės atsitiktinai imame rutulį. Kokia tikimybė, kad jis bus baltas?
Sokolovas, 2017-03-12 11:27:56
TRIKAMPIO AUKŠTINĖS…
Trikampio ABC kraštinių ilgiai skirtingi. Šio trikampio aukštinių ilgiai- sveikieji skaičiai. Dviejų aukštinių ilgiai yra 2 ir 4. Apskaičiuokite trečiosios aukštinės ilgį.
Sokolovas, 2017-03-12 12:05:16
NETOLIMOS PRAEITIES ŠEŠĖLIS
Išspręskite,-
regėsite…
Į skritulį, kurio plotas 672pi, įbrėžtas taisyklingasis daugiakampis, turintis 54 įstrižaines. Apskaičiuokite jo plotą.
Sokolovas, 2017-03-12 12:12:34
NUOSTABUS HIBRIDAS
Trikampio kraštinių ilgiai a, b, c- sveikieji skaičiai. Skaičiai a ir b yra lygties (2^x) lgx = 8 lgx
sprendiniai.
Apskaičiuokite šio trikampio pusiaukraštinių ilgius.
Sokolovas, 2017-03-12 12:17:22
SKAIČIŲ SEKA. VERŽLIOJI IR PASLAPTINGOJI…
Tam tikros skaičių sekos pirmųjų n narių suma yra lygi
n! + C.
Apskaičiuokite konstantos C reikšmę.