Jūs man šiandien patikote. Ir aš jums patikau…
Dabar klauskite, domėkitės, svarstykite, prašykite -čia!
Atsakymai
Rokas, 2009-09-05 15:58:46
Štai keli uždaviniai:
- Iš 22 klasės mokinių keturi rengiasi dalyvauti šachmatų, o septyni – šaškių varžybose. Komandą reikia sudaryti iš dviejų šachmatininkų ir trijų šaškininkų. Kelias tokias komandas galima sudaryti?
Aš gavau 210, knygelės atsakymas – 120. Kokia jūsų nuomonė?
- Patikrinkite, ar funkcija f(x) = {1/(2-x), kai x1 yra didėjanti intervale [-2;5]. Nubrėžkite jos grafiko eskizą.
Eskizą nubrėžiau. Klausimas daugiau techninis: kaip patikrinti? Šiaip abidvi funkcijos didėjančios visoje apibrėžimo srityje, bet iš jų sudaryta f(x) nėra monotoniškai didėėjanti, nes turi trūkį. Kaip tai “įforminti”?
- Nustatykite, kuriuose funkcijos y=|cos x| grafiko taškuose neegzistuoja liestinė.
Vėlgi, kaip spręsti? Galiu tuščiažodžiauti, pasakydamas, kad liestinės nėra tuose taškuose, kuriuose neegizstuoja išvestinė. O išvestinė neegzistuoja taškuose, kuriuose funkcijos grafikas lūžta. Bet kaip reikėtų “įforminti”?
P. S. uždaviniai paimti iš A. Apynio, A. Nagelės “Matematikos kartojimo uždavinių”, Vilnius: Leidybos centras, 1997.
Burgis, 2009-09-05 17:34:22
Rokui: neįtikėtina! Šioje svetainėje diskutuojama apie uždavinius! Skubu atsakyti:
-
Jūs teisus, 210.
-
Nesupratau sąlygos: ką reiškia vienas riestinis skliaustelis? ką reiškia x1?
Tačiau spėju, kad sprendimas toks: reikia rasti išvestinę ir parodyti, kad ji teigiama visame intervale, išskyrus trūkio tašką. Trūkio taškas netrukdo teigti, kad funkcija didėjanti, nes juk nereikalaujama, kad funkcija būtų tolydi, monotoninė.
- Tai ne tušti žodžiai: lietinės nėra tuose taškuose, kuriuose grafikas “lūžta”, o “lūžta” jis ten, kur neegzistuoja išvestinė, pvz., ties pi/2.
Rokas, 2009-09-05 18:07:23
Ačiū už greitus atsakymus. Smagu.
- { čia panaudojau kaip ženklą, kuris vartojamas, kai norima parodyti, kad skirtingose apibrėžimo srities dalyse galioja skirtingas sąryšis, susiejantis y su x, t. y.
kai x 1, tai f(x) = x-1
Tyrimas rodo, kad funkcijos išvestinės ženklas tik pliusas, taigi ji lyg ir didėjanti. Bet glumina tai, kad labai keistai nurodoma sąlygoje: patikrinti, ar ji didėjanti intervale [-2;5], o į jį patenka ir trūkio taškas. Knygelės atsakymas – ne, nedidėjanti šiame intervale.
Pastebėsiu, kad už trūkio taško kurį laiką funkcijos reikšmės būna mažesnės, negu iki jo.
Rokas, 2009-09-05 18:08:45
Deja, negaliu pateikti funkcijos formulės, nes kažkodėl svetainė jos neatvaizduoja …
Burgis, 2009-09-05 18:14:19
Rokui: pasidarė smalsu, pabandysiu pats rasti sąlygą, gal kas nors turi tą knygą…
Pentium100, 2009-09-05 18:48:57
Rokui:
pabandykite parašyti ką norėjote nenaudodami ženklų “daugiau” ir “mažiau”, nes sistema pagalvoja, kad jūs rašote html kodą.
Egidijus, 2009-09-05 22:11:22
Rašant specifines matematines formules geriausias sprendimas yra parašyti tam skirtomis priemonėmis matcad, matlab, word(equation) ir panašiomis, padaryti taip vadinamą ekrano nuotrauką ir įdėti į nuotraukų talpyklą pvz: http://imageshack.us/ Tuomet bus visiems aišku ir suprantama 😉
Ronaldas, 2009-09-06 11:22:59
Sprendimą pirmojo uždavinio galėtumėt kuris nors pateikti?
Kažkada lyg ir mokėjau tikimybes spręst..
Burgis, 2009-09-06 11:26:47
C iš keturių po du padauginta iš C iš septynių po tris. C – derinių skaičius.
Rokas, 2009-09-07 22:03:20
Trumpas klausimas: jei funkcijų f(x) ir g(x) periodai 2π, ar jų superpozicijos (tiesinio darinio?) f(x)+g(x) periodas irgi yra 2π? O kaip su jų sandauga f(x)g(x)? O su jų kompozicija f(g(x)) ir g(f(x))?
Vainius, 2009-09-08 00:21:47
Kompozicijai galios sąryšis, kad funkcija nuo x+2πn (kur n – natūralus skaičius) bus lygi funkcijai nuo x, tačiau gali būt, kad periodas sumažės. Pavyzdžiui, tarkim, kad g(x) yra funkcija kuri eidama nuo 2πn iki 2π(n+1) tiesiškai įgyja reikšmes nuo 0 iki 4π. Tuomet f(g(x)) periodas bus jau π, o nebe 2π.
Dabar dėl sandaugos, tai imkim sin(x)*cos(x) = sin(2x)/2. Abiejų funkcijų periodai 2π, tačiau jų sandaugos π.
O dabar dėl sumos, tai, pavyzdžiui, tarkim f(x) yra funkcija kuri nuo 2πn iki 2πn+π tiesiškai įgyja reikšmes nuo 0 iki 1, o tarp 2πn+π ir 2π(n+1) lygi 0. Ir g(x), kuri nuo 2πn iki 2πn+π yra nulis ir tarp 2πn+π ir 2π(n+1) tiesiškai įgyja reikšmes nuo 0 iki 1. Abiejų funkcijų periodai 2π, tačiau jų sumos π.
Taigi, visiem trim variantams atsakymas – NE.
Beje, taip gavos, kad visiem mano duotiem pavyzdžiam periodas sumažėja iki π, tačiau jis gali sumažėt ir daugiau kartų.
Burgis, 2009-09-08 08:44:56
Ačiū Vainiui, bet kas nors imsis tai įrodyti formaliai, tiesa? f(x+T)=f(x) – daugiau mes nieko neturime…
petras, 2009-09-08 09:18:33
Trumpas klausimas 🙂 metami du kauliukai, kokia tikimybė, kad iškris viena akutė (gali ir abu kauliukai po vieną akutę iškrist) ?
Burgis, 2009-09-08 10:01:31
Petrui: klauskite tiksliau: 1) metant du kauliukus, bent vienas atsiverčia vientuku; 2) abu atsiverčia vienetukais; 3) tik vienas atsiverčia vienetuku. Visi trys uždavinukai lengvai išsprendžiami net nežinant formulių: surašykite visas galimybes (jų 6*6=36) ir suskaičiuokite palankias įvykiui.
petras, 2009-09-08 10:57:30
pirminis variantas, bet daba matau, kad pralošiau alaus draugui. nes sakė, kad tikimybė 1/3, bet man iš pirmo žvilgsnio kažkodėl 1/3 labai didelė tikimybė pasirodė, juk dar tiek daug 2tukų, 3tukų ir t.t. :)) labai jau apgaulingas dalykas tos tikimybės 🙂 todėl visada laikaus vieno pažįstamo nuomonės, kad tikimybė visada būna 1/2. pvz. kokia tikimybė man tapt prezidentu? arba tapsiu arba ne 😀
Rokas, 2009-09-08 16:26:38
-
iš visų 36 kombinacijų šiam įvykiui palankios trys : viena akutė ant pirmojo kauliuko, viena akutė ant antrojo arba viena akutė ant abiejų. P(A)= 3/36 = 1/12.
-
iš visų 36 kombinacijų šiam įvykiui palanki viena: ant abiejų kauliukų viena akis. P(A) = 1/36. ARBA: šis įvykis yra įvykių “iškrito viena akutė pirmajame kauliuke” ir “iškrito viena akutė antrajame kauliuke” sankirta. Įvykiai nepriklausomi, todėl P(A) = 1/6 * 1/6 = 1/36.
-
iš visų 36 kombinacijų šiam įvykiui palankios dvi: viena akutė ant pirmojo kauliuko arba viena akutė ant antrojo. P(A) = 2/36 = 1/18.
Vainius, 2009-09-08 17:11:07
Gerb. Burgi, kuom ne formalus įrodymas pateikiant pavyzdį, kuris paneigia teiginį? Jeigu atsakymas būtų teigiamas, tuomet reiktų įrodinėt pasiėmus bendrąjį atvejį f(x+T) = f(x), tačiau paneigti užtenka ir pavyzdžio.
Vainius, 2009-09-08 17:25:39
Beje, Rokai, dėl 1), tai galimybių 11, o ne 3 (1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-1, 3-1, 4-1, 5-1, 6-1). Lygiai taip pat ir dėl trečio – galimybių dešimt.
Ir Petrai, alaus draugui nepralošei, nes tikimybė yra 11/36, o ne 12/36. 🙂
Manfredas, 2009-09-08 17:25:42
Rokui: pirmas su trečiu neteisingi; Petrui: nepralošėt, tikimybė už 1/3 truputį mažesnė. 🙂
Manfredas, 2009-09-08 17:27:46
Great minds think alike…
Rokas, 2009-09-08 17:30:54
Taip, visiškai teisingai. Suklydau vardydamas galimybes, nes ignoravau tai, kad kitas kauliukas gali atvirsti bet kuo.
petras, 2009-09-09 09:16:19
jėjėjė, aš ne tik nepralošiau, bet ir laimėjau :)) čia beja susiginčijom bagemoną bežaisdami ar kaip ten jis vadinasi :)) kur arabai žaidžia su šaškėm ant lentos į trikampiukus padalytos :)) toks smagus žaidimas sėkmė + strategija + tikimybių įvertinimas (su pastarosiom sunkiau kažkaip man sekasi :D)
Rokas, 2009-09-14 23:27:41
Kaip įrodyti, kad skaičius n^3+n dalus iš 3? Kadangi tradiciškai tokie uždaviniai mokyklose nesprendžiami, nežinau netnuo ko pradėti … O pradėti kažkada reikia, tiesa?
Pentium100, 2009-09-15 09:38:01
n^3+n dalus iš 3?
1^3+1=2, nesidalina iš 3
2^3+2=8+2=10, nesidalina iš 3
3^3+3=27+3=30, dalinasi iš 3
4^3+4=64+4=68, nesidalina iš 3
Aišku viena – “n^3+n dalus iš 3” tikrai negalioja visiems natūraliems skaičiams… Taigi, į kokį intervalą turi pakliūti n Gal buvo duota sąlygoj?
Rokas, 2009-09-15 14:49:24
atsiprašau, blogą sąlygą pateikiau: turėjo būti n^3-n.
Kokia yra sprendimo eiga, Pentium?
Burgis, 2009-09-15 15:47:36
n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1)n(n+1). Trijų iš eilės einančių skaičių sandauga…
Rokas, 2009-09-15 18:33:06
Labai ačiū visiems už patarimus. Beje, pats šiandien sugalvojau tokį sprendimo kelią:
Jei n^3-n dalus iš trijų, tuomet trimis vienetais už jį didesnis skaičius (n+3)^3-(n+3) taip pat turi būti dalus iš 3. Jų skirtumas:
(n+3)^3-(n+3)-(n^3-n)=n^3+9n^2+27n+27-n-3-n^3+n=9n^2+27n+24=3(3n^2+9n+8).
Iš pradžių susižavėjau šiuo sprendimu, bet paskui man pradėjo atrodyti, kad čia lyg ir trūksta kažkokio pagrindimo. Be to, tas skirtumas tarp dviejų “gretimų” skaičių priklauso nuo n, todėl iš tiesų jis nebūtinai skiria gretimus skaičius …
Ieva, 2009-12-02 11:35:54
ka reiskia Y ir X zenklai?
Ieva, 2009-12-02 14:53:42
Kaip issprest si uzdavini?
” Dvieju skaiciu suma lygi 150. Vieno is tu skaiciu 20% yra 3 vienetais daugiau uz 25% kito skaiciaus. Raskite tuos skaicius. “
Burgis, 2009-12-02 15:10:34
Ievai: X ir Y yra raidės; matematikoje – paprastai kintamieji…; tikimybių teorijoje didžiosios X ir Y – atsitiktiniai dydžiai.
Ievai: vienas skaičius x, kitas y; iš antro sakinio: 0,2x-3=0,25y. dabar išspręskite šių dviejų lygčių sistemą.
Arturas, 2010-11-22 17:56:19
Labas,
“ Dvieju skaiciu suma lygi 150. Vieno is tu skaiciu 20% yra 3 vienetais daugiau uz 25% kito skaiciaus. Raskite tuos skaicius. „ Aš bandau šitą išspręsti neįvesdamas antro nežinomojo. Naudojant tik x. Ar tai išvis įmanoma? Nes šitas uždavinys duotas 8kl. vadovėlyje, o aštuntokai dar nemoka skaičiuoti su dviem nežinomaisiais. Ačiū už atsakymą.